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同济高等数学笔记整合(上) 考研用
基于 wmathor/Postgraduate-Advanced-Mathematics
不定积分是为定积分服务的, 它的目的是找原函数

函数与极限

函数

  1. 函数:
    有集合 \(D\) 和 \(x\)、\(y\) 两个变量.
    若对任意 \(x\in D\), 总存在唯一确定的解 \(y\) 与 \(x\) 对应,
    称 \(y\) 为 \(x\) 的函数, 记作 \(y=f(x)\), \(D\) 为 \(x\) 的定义域
  2. 反函数:
    \(y=f(x)\enspace(x\in D)\) 严格单调 (单调函数必有单调反函数)
    若 \(y=f(x) \implies x=\varphi(y)\)
    则 \(\varphi(y)\) 就是 \(f(x)\) 的反函数
  3. 基本初等函数:
    1. 幂函数 \(x^a\)
    2. 指数函数 \(a^x\enspace(a>0\) 且 \(a\neq 1)\)
    3. 对数函数 \(\log_a{x}\enspace(a>0\) 且 \(a\neq 1)\)
    4. 三角函数 \(\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x\)
  4. 初等函数: 由常数、基本初等函数经过四则运算、复合运算而成的式子

初等性质

  1. 奇偶性
    设 \(y=f(x)\enspace\) (\(x\in D\), \(D\) 关于原点对称)
    若对于 \(\forall x\in D\), 有
    \(f(-x)=-f(x)\), 则为奇函数;
    \(f(-x)=f(x)\), 则为偶函数

  2. 单调性
    设 \(y=f(x)\enspace(x\in D)\)
    若 \(\exist x_1,x_2\in D\) 且 \(x_1<x_2\) 时 , 有 \(f(x_1)<f(x_2)\), 称 \(f(x)\) 在 \(D\) 上严格单调递增;
    若 \(\exist x_1,x_2\in D\) 且 \(x_1<x_2\) 时 , 有 \(f(x_1)>f(x_2)\), 称 \(f(x)\) 在 \(D\) 上严格单独递减

  3. 有界性
    设 \(y=f(x)\enspace(x\in D)\), 函数的界 \(M\)
    若 \(\exist M>0\), 对于 \(\forall x\in D\), 有 \(|f(x)|\leqslant M\), 称 \(f(x)\) 在 \(D\) 上有界

    若 \(\forall x\in D\), \(f(x)\geqslant M_1\), 有下界
    若 \(\forall x\in D\), \(f(x)\leqslant M_2\), 有上界
    如: \(|f(x)|\leqslant 3\hArr\begin{cases} f(x)\geqslant -3 \\ f(x)\leqslant 3 \end{cases}\)

  4. 周期性
    设 \(y=f(x)\enspace(x\in D)\)
    若 \(\exist T>0\), 对于 \(\forall x\in D\enspace(x+T\in D)\), 有 \(f(x+T)=f(x)\), 称 \(f(x)\) 为周期函数

数列极限

  1. 数列收敛定义 (\(\epsilon−N\)):
    设数列 \(\{a_n\}\), \(A\) 为极限值, 最大误差 \(\varepsilon\), 数列在元素 \(a_N\) 后极限有效(即之后数列元素与极限值的差值 \(\leqslant\varepsilon\)),
    若 \(\forall\varepsilon>0\), \(\exist N>0\), 当 \(n>N\) 时 \(|a_n-A|<\varepsilon\)
    称数列 \(\{a_n\}\) 收敛于极限 \(A\), 记作 \(\lim\limits_{n\to\infty}=A\) 或 \(a_n\to A\enspace(n\to\infty)\)
    例:
    设通项公式 \(a_n=\frac{n+1}{2n}\), 具体值为 \(\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{5}{8},\frac{3}{5},\dots\), 观察得极限 \(a_n\to\frac{1}{2}\)
    设 \(\varepsilon=\frac{1}{10}>0\), 则 \(|a_n-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{10}\rArr n>5\).
    同理:
    若 \(\varepsilon=\frac{1}{100}>0\), 则 \(\frac{1}{2n}<\frac{1}{100}\rArr n>50\)
    若 \(\varepsilon=\frac{1}{1000}>0\), 则 \(\frac{1}{2n}<\frac{1}{1000}\rArr n>500\)
    由此发现该数列有极限: \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}\)
  2. 性质
    1. 唯一性: 数列有极限必唯一

      证明: (反证法)
      设数列有两个极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\), \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B\), 且 \(A\neq B\)
      不妨设 \(A>B\), \(\varepsilon=-\frac{A+B}{2}\)
      \(\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)
      \(\therefore\exist N_1>0\), 当 \(n>N_1\) 时,
      \(\mskip{1em}\)➀ \(|a_n-A|<\varepsilon\Harr\frac{3A+B}{2}<a_n<\frac{A-B}{2}\)
      \(\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B\)
      \(\therefore\exist N_2>0\), 当 \(n>N_2\) 时,
      \(\mskip{1em}\)➁ \(|a_n-B|<\varepsilon\Harr\frac{A-B}{2}<a_n<\frac{-A+B}{2}\)
      取 \(N=\operatorname{max}\{N_1,N_2\}\), 当 \(n<N_2\) 时, ➀、➁ 都成立, 但这两个不等式没有交集, 矛盾, 所以 \(A>B\) 不对, 同理 \(B>A\) 也不对.
      \(\therefore A=B\), 极限值只有一个.

    2. 有界性: 有极限一一定有界, 有界不一定有极限(必须得是单调有界)
      若 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\), 则 \(\exist M>0\), 使得 \(|a_n|\leqslant M\), 反之不成立.

      证明:

      • \(\rArr\)
        取任意 \(\varepsilon>0\)
        \(\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)
        \(\therefore\exist N>0\), 当 \(n>N\) 时 , \(|a_n-A|<\varepsilon\)
        \(\because||a_n|-|A||\leqslant|a_n-A|\) (三角不等式)
        \(\therefore\) 当 \(n>N\) 时, \(||a_n|-|A||<\varepsilon\rArr|a_n|<\varepsilon+|A|\)
        取 \(M=\operatorname{max}\{|a_1|,|a_2|,\dots,|a_n|,\varepsilon+|A|\}\), 对于 \(\forall n\), 有 \(|a_n|\leqslant M\)
      • \(\nLeftarrow\)
        取 \(a_n=1+(-1)^n\), 有 \(|a_n|\leqslant 2\), 但 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) 不存在
    3. 保号性:
      若 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\begin{cases} >0 \\ <0 \end{cases}\), 则 \(\exist N>0\), 当 \(n>N\) 时, \(a_n\begin{cases} >0 \\ <0 \end{cases}\)

      证明:

      1. 若 \(A>0\), 取 \(\varepsilon=\frac{A}{2}>0\)
        \(\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)
        \(\therefore\exist N>0\), 当 \(n>N\) 时,
        \(\mskip{1em}|a_n-A|<\frac{A}{2}\hArr\frac{A}{2}<a_n<\frac{3A}{2}\rArr a_n>\frac{A}{2}>0\)
      2. 若 \(A<0\), 取 \(\varepsilon=-\frac{A}{2}>0\)
        \(\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)
        \(\therefore\exist N>0\), 当 \(n>N\) 时,
        \(\mskip{1em}|a_n-A|<-\frac{A}{2}\hArr\frac{3A}{2}<a_n<\frac{A}{2}\rArr a_n<\frac{A}{2}<0\)

函数极限

  1. 定义
    • \(\varepsilon-\delta\) 语言定义法: (\(\varepsilon\) 为值域的误差, \(\delta\) 为定义域的误差)
      若 \(\forall\varepsilon>0\), \(\exist\delta>0\), 当 \(|x-a|<\delta\) 时 \(|f(x)-A|<\varepsilon\),
      称 \(f(x)\) 当 \(x\to 0\) 时以 \(A\) 为极限
      记作 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\) 或 \(f(x)\to A\enspace(x\to a)\)
    • \(\varepsilon-X\) 语言定义法: (\(X\) 为定义域极限存在临界点)
      若 \(\forall\varepsilon>0\), \(\exist X>0\)
      1. 当 \(x>X\) 时, \(|f(x)-A|<\varepsilon\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\)
      2. 当 \(x<-X\) 时, \(|f(x)-A|<\varepsilon\), \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=A\)
      3. 当 \(|x|>X\) 时, \(|f(x)-A|<\varepsilon\), \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\)
  2. 性质
    1. 唯一性(函数有极限必唯一)

      证明:
      设 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\), \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=B\)
      不妨设 \(A>B\), 取 \(\varepsilon=\frac{A-B}{2}>0\)
      \(\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\)
      \(\therefore\exist\delta_1>0\), 当 \(|x-a|<\delta_1\) 时,
      \(\mskip{1em}\)➀ \(|f(x)-A|<\frac{A-B}{2}\hArr\frac{A+B}{2}<f(x)<\frac{3A-B}{2}\)
      又 \(\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=B\)
      \(\therefore\exist\delta_2>0\), 当 \(|x-a|<\delta_2\) 时,
      \(\mskip{1em}\)➁ \(|f(x)-B|<\frac{A-B}{2} \hArr \frac{3B-A}{2}<f(x)<\frac{A+B}{2}\)
      取 \(\delta=\operatorname{min}\{\delta_1,\delta_2\}\), 当 \(|x-a|<\delta\) 时 ➀、➁ 皆成立, 矛盾.
      \(\therefore A>B\) 不对, 同理 \(A<B\) 也不对.
      \(\therefore A=B\), 极限值只有一个.

    2. 局部有界性:
      设 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\), \(\exist\delta>0\)、\(M>0\), 当 \(|x-a|<\delta\) 时, \(|f(x)|\leqslant M\)

      证明:
      取任意 \(\varepsilon>0\)
      \(\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\)
      \(\therefore\exist\delta>0\), 当 \(|x-a|<\delta\) 时, \(|f(x)-A|<\varepsilon\)
      又 \(\because||f(x)|-|A||\leqslant|f(x)-A|\) (三角不等式)
      \(\therefore\) 当 \(|x-a|<\delta\) 时,
      \(\mskip{1em}||f(x)|-|A||<\varepsilon\rArr|f(x)|<\varepsilon+|A|(=M)\)
      \(\therefore\) 当 \(|x-a|<\delta\) 时, \(|f(x)|\leqslant M\)

    3. 保号性:
      设 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\begin{cases} >0 \\ <0 \end{cases}\), 则 \(\exist\delta>0\), 当 \(|x-a|<\delta\) 时, \(f(x)\begin{cases} >0 \\ <0 \end{cases}\)

      证明:

      1. 若 \(A>0\), 取 \(\varepsilon=\frac{A}{2}>0\)
        \(\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\)
        \(\therefore\exist\delta>0\), 当 \(|x-a|<\delta\) 时 \(|f(x)-A|<\frac{A}{2}\rArr f(x)>\frac{A}{2}>0\)
      2. 若 \(A<0\), 取 \(\varepsilon=-\frac{A}{2}>0\)
        \(\because\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\)
        \(\therefore\exist\delta>0\), 当 \(|x-a|<\delta\) 时 \(|f(x)-A|<-\frac{A}{2}\rArr f(x)<\frac{A}{2}<0\)
  3. Notes:
    1. \(\{x|0<|x-a|<\delta\}\) 可表示为 \(\mathring{\bigcup}(a\cdot\delta)\) (读作 \(a\) 的去心 \(\delta\) 邻域)
    2. \(x\to a\) 时 \(\begin{cases} x\to a^- \\ x\to a^+ \end{cases}\)
    3. 左极限与右极限
      若 \(\forall\varepsilon>0\), \(\exist\delta>0\)
      1. 当 \(x\in(a-\delta,a)\) 时 \(|f(x)-A|<\varepsilon\),
        此时 \(A\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处左极限,
        记为 \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=A\) 或 \(f(a-0)=A\)
      2. 当 \(x\in(a,a+\delta)\) 时 \(|f(x)-B)|<\varepsilon\),
        此时 \(B\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处右极限,
        记为 \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=B\) 或 \(f(a+0)=B\)
    4. \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) 意味着左右极限存在且相等
    5. \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) 与 \(f(a)\) 无关 (除非该点连续)
      如:
      1. 分段函数 \(f(x)=\begin{cases} x-1 & x<0 \\ 0 & x=0 \\ 2x-1 & x>0 \end{cases}\), 它的极限为 \(\begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-1 \\ \lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=-1 \end{cases}\rArr\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-1\), 但 \(f(0)=0\)
      2. \(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=4\), 但 \(f(2)\) 时分母为零

无穷小与无穷大

  1. 无穷小
    1. \(\varepsilon-\delta\) 定义: 若 \(\forall\varepsilon>0\), \(\exist\delta>0\), 当 \(|x-x_0|<\delta\) 时 , \(|\alpha(x)-0| <\varepsilon\), 称 \(\alpha(x)\) 在 \(x\to x_0\) 时无穷小, 记 \(\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0\)
    2. 常规性质:
      1. 若 \(\alpha\to 0\), \(\beta\to 0\), 则 \(\begin{cases} \alpha\pm\beta\to 0 \\ k\alpha\to 0 \\ \alpha\beta\to0 \end{cases}\)
      2. 无穷小乘有界函数还是无穷小: \(\alpha\to 0\), \(|\beta|\leqslant M\), 则 \(\alpha\beta\to 0\)
      3. (重要)任意极限加无穷小还是原极限 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \hArr \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A+\alpha\enspace(\alpha\to 0)\)
    3. 注意: 0 是无穷小, 但无穷小不一定为 0
  2. 无穷大
    • \(\varepsilon-\delta\) 定义: 若 \(\forall M>0\), \(\exist\delta>0\), 当 \(|x-x_0|<\delta\) 时, \(|f(x)|\geqslant M\),
      称 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\) 时无穷大, 记作 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)
    • \(\varepsilon-X\) 定义: 若 \(\forall M>0\), \(\exist X>0\), 当 \(x>X\) 时, \(|f(x)|\geqslant M\),
      称 \(f(x)\) 在 \(x\to +\infty\) 时无穷大, 记作 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\infty\)
  3. 无穷小与无穷大的关系: \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0\hArr\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=\infty\)

极限的运算法则

  1. 四则极限法则
    有 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\), \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B\)
    1. 加减: \(\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\pm\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=A\pm B\)
    2. 数乘: \(\lim\limits_{x\to x_0}kf(x)=k\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=kA\)
    3. 乘法: \(\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=AB\)
    4. 除法: \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}=\frac{A}{B}\)
      若最后是无穷大比无穷大, 极限除法的值以最高阶系数为准:
      设 \(P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\), \(Q(x)=b_mx^m+\dots+b_1x+b_0\)
      则 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\begin{cases} \frac{a_n}{b_m} & n=m \\ \infty & n>m \\ 0 & n<m \end{cases}\)
  2. 复合函数极限法则:
    设 \(u=\varphi(x)\neq a\), \(\lim\limits_{u\to a}f(u)=A\), \(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=a\), 则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=A\)

极限存在法则和两个重要极限

  1. 极限存在准则
    1. 夹逼定理
      1. 数列型:
        若 \(\begin{cases} a_n\leqslant b_n\leqslant c_n \\ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=A \end{cases}\)
        则 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=A\)

        证明方法: 利用 \(\varepsilon−N\) 定义推出 \(A-\varepsilon<b_n<A+\varepsilon\rArr|b_n-A|<\varepsilon\)

      2. 函数型:
        设 \(\begin{cases} f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x) \\ \lim f(x)=\lim h(x)=A \end{cases}\)
        则 \(\lim g(x)=A\)
    2. 单调有界数列必有极限
      • \(\{a_n\}\) 有界 \(\hArr\{a_n\}\) 有上下界
      • 若 \(\{a_n\}\) 单调递增: \(\begin{cases} \text{有上界}\rArr\lim\limits_{n\to\infty}a_n \text{存在} \\ \text{无上界}\rArr\lim\limits_{n\to\infty}a_n\text{不存在} \end{cases}\)
      • 若 \(\{a_n\}\) 单调递减: \(\begin{cases} \text{有下界}\rArr\lim\limits_{n\to\infty}a_n \text{存在} \\ \text{无下界}\rArr\lim\limits_{n\to\infty}a_n\text{不存在} \end{cases}\)
  2. 两个重要极限
    1. \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
      证明:

      设 \(0<x<\frac{\pi}{2}\)
      \(S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\sin x\)
      \(S_{扇形AOB}=\frac{1}{2}x\)
      \(S_{RT\triangle AOC}=\frac{1}{2}\tan x\)
      \(\therefore\) 结合图片和三者面积公式可得 \(\sin x<x<\tan x \rArr 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\)
      \(\because\lim\limits_{x\to0}\cos x=1\)
      \(\therefore\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\cos x}=1\), \(\lim\limits_{x\to0}1=1\rArr\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1\) (夹逼定理) \(\rArr\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

    2. 欧拉数 \(e\) 的定义: \(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\)

无穷小的比较

  1. 无穷小的比较
    \(\alpha\to 0\), \(\beta\to 0\)
    若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=0\), 称 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的高阶无穷小, 记 \(\beta=o(\alpha)\)
    若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infty\), 称 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的低阶无穷小
    若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=k\enspace(k\neq 0,\infty)\), 称 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小
    若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=k\enspace(k\neq 0,\infty)\), 称 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的同阶无穷小, 记 \(\beta=O(\alpha)\)
    若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=1\), 称 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的等价无穷小, 记 \(\beta\sim\alpha\)
    等价无穷小是同阶无穷小的充分不必要条件
  2. 等价无穷小的性质
    \(\alpha\to 0\), \(\beta\to 0\)
    1. \(\alpha\sim\beta\hArr\beta=\alpha+o(\alpha)\)
    2. 若 \(\alpha\sim\alpha_1\), \(\beta\sim\beta_1\), \(\lim\frac{\beta_1}{\alpha_1}=A\), 则 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=A\)
  3. 常用等价无穷小 (\(x\to 0\))
    1. \(x\sim\sin x\), \(x\sim\tan x\), \(x\sim\arcsin x\), \(x\sim\arctan x\), \(x\sim\ln(1+x)\), \(x\sim e^x-1\)
    2. \(1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\)
    3. \((1+x)^a-1\sim ax\)

函数的连续性与间断点

函数连续是极限存在的充分不必要条件, 因为间断不代表极限不存在

  1. 连续
    1. 函数在一点连续: \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\) 或 \(f(a-0)=f(a+0)=f(a)\)
      若 \(f(a-0)=f(a)\), 称 \(f(a)\) 在 \(x=a\) 左连续
      若 \(f(a+0)=f(a)\), 称 \(f(a)\) 在 \(x=a\) 右连续

    2. 函数在闭区间连续:
      \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有定义, 若:

      1. \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内处处连续
      2. \(f(a)=f(a+0)\), \(f(b)=f(b-0)\)

      则称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续, 记 \(f(x)\in C[a,b]\)

  2. 间断点及分类
    1. 间断: 若 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\neq f(a)\), 称 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 间断
    2. 分类:
      1. 第一类间断点: \(f(a-0)\), \(f(a+0)\) 皆存在
        • 可去间断点: \(f(a-0)=f(a+0)\neq f(a)\)

        • 跳跃间断点: \(f(a-0)\neq f(a+0)\)

          如 \(\lim\limits_{x\to 0^-}e^\frac{1}{x}=0\), \(\lim\limits_{x\to 0^+}e^\frac{1}{x}=+\infty\)

      2. 第二类间断点: \(f(a-0)\), \(f(a+0)\) 至少一个不存在

连续函数运算及初等函数连续性

  1. 连续函数运算
    1. 四则运算
      \(f(x)\), \(g(x)\) 在 \(x=x_0\) 处连续, 则

      1. \(f(x)\pm g(x)\) 在 \(x=x_0\) 处连续
      2. \(f(x)g(x)\) 在 \(x=x_0\) 处连续
      3. \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 在 \(x=x_0\) 处连续 \((g(x)\neq 0)\)

      (证明思路是证明该点处极限与函数实际取该点值相等, 也就是上节讲到的函数连续定义)

    2. 复合运算
      \(f(u)\), \(u=\varphi(x)\neq a\)
      若 \(\lim\limits_{u\to a}f(u)=f(a)\), \(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=a\), 则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)]=f(a)\)

  2. 初等函数连续性: 基本初等函数、初等函数在其定义域内连续

闭区间上连续函数的性质

  1. 最值定理
    \(f(x)\in C[a,b]\)
    \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上取到最小值 \(m\) 和最大值 \(M\)
    即 \(\exist x_1,x_2\in[a,b]\), 使 \(f(x_1)=m\), \(f(x_2)=M\)
  2. 有界定理
    \(f(x)\in C[a,b]\)
    \(\exist k>0\), 使 \(\forall x\in[a,b]\) 有 \(|f(x)|\leqslant k\)
  3. 零点定理
    \(f(x)\in C[a,b]\)
    若 \(f(a)f(b)<0\)
    \(\exist c\in[a,b]\) 使 \(f(c)=0\)
  4. 介值定理
    \(f(x)\in C[a,b]\)
    \(\forall\eta\in[m,M]\), \(\exist\xi\in[a,b]\) 使 \(f(\xi)=\eta\)

导数与微分

导数的概念

  1. 导数定义
    设 \(y=f(x)\enspace(x\in D)\), \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\enspace(x_0,(x_0+\Delta x)\in D)\)
    若 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 存在, 称 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处可导, 该极限称为 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处的导数, 记 \(f^\prime(x_0)\) 或 \(\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}\)

    $$ f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$

    (证明方法: 代入 \(\Delta x=x-x_0\))

  2. 导函数定义: \(f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)

  3. 注意:

    1. 可导时左右导数存在且相等
      左导数: \(\left.\begin{array}{c} \lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{array}\right\} =f_-^\prime(x_0)\)
      右导数: \(\left.\begin{array}{c} \lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{array}\right\} =f_+^\prime(x_0)\)
    2. 可导一定连续, 连续不一定可导.
      (因为连续函数在点 \(f^\prime(x)=0\) 处不可导, 如正弦曲线的 \(y=1\) 处左右导数不同)

常见初等函数的导函数

  1. \(C^\prime=0\)
  2. \((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)
  3. \((a^x)^\prime=a^x\ln a\)
    特别地 \((e^x)^\prime=e^x\)
  4. \((\log_a x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}\)
    \((\ln x)^\prime=\frac{1}{x}\)
  5. \((\sin x)^\prime=\cos x\)
    \((\cos x)^\prime=-\sin x\)
    \((\tan x)^\prime=\sec^2x\)
    \((\cot x)^\prime=-\csc^2x\)
    \((\sec x)^\prime=\sec x\tan x\)
    \((\csc x)^\prime=-\csc x\cot x\)
  6. \((\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
    \((\arccos x)^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
    \((\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}\)
    \((\operatorname{arccot}x)^\prime=-\frac{1}{1+x^2}\)
  7. \((\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{nx}{2})\)
    \((\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{nx}{2})\)
    \((\frac{1}{ax+b})^{(n)}=(-1)^n n!\frac{a^n}{(ax+b)^{n+1}}\)

证明:
第一步代入 \(f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)

  1. \((x^n)^\prime=nx^{n-1}\) 会用到二项式展开式

  2. \((a^x)^\prime=a^x\ln a\) 会用到 \(x=e^{\ln x}\) 和 \(x\sim(e^x-1)\)

  3. \((\log_a x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}\)

    $$ f^\prime(x)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\overbrace{\dfrac{\log_a(x+\mathrm{d}x)-\log_a x}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\log_a(\frac{x+\mathrm{d}x}{x})}{\mathrm{d}x}}^{\log_a \frac{M}{N} =\log_a M-\log_a N}=\dfrac{\log_a(1+\frac{\mathrm{d}x}{x})}{\mathrm{d}x} =\overbrace{\dfrac{\frac{\ln(1+\frac{\mathrm{d}x}{x})}{\ln a}}{\mathrm{d}x}}^{\log_a N=\frac{\log_b N}{\log_b a}} =\overbrace{\dfrac{\frac{\frac{\mathrm{d}x}{x}}{\ln a}}{\mathrm{d}x}}^{x\sim\ln(1+x)}=\dfrac{1}{x\ln a} $$
  4. $$ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} =\underbrace{\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x}}_{\text{和差角公式}} =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos x\lim\limits_{\Delta x\to 0}\underbrace{\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}}_{x\sim\sin x}=\cos x $$

    \((\cos x)^\prime\) 的证明也同理
    后面的都是将其化为 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 的形式然后利用求导的四则运算法则证明 (如 \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\)、\(\csc x=\frac{1}{\sin x}\))

  5. 使用反函数求导法则:
    这里只证明 \(\arcsin x\)
    \(f(x):y=\arcsin x\), \(\varphi(y):x=\sin y\)
    \(f^\prime(x)=\frac{1}{\varphi^\prime(y)}\rArr(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{\cos y}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}}_{\text{平方关系式}}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}_{\text{带入} x=\sin y}\)

  6. 使用高阶导数归纳法

    1. \(f(x)=\sin x\)
      \(f^\prime(x)=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})\)
      \(f^{\prime\prime}(x)=-\sin x=\sin(x+\frac{2\pi}{2})\)
      \(f^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x=\sin(x+\frac{3\pi}{2})\)
      \(f^{(4)}(x)=\sin x=\sin(x+\frac{4\pi}{2})\)
      \(\therefore f^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{nx}{2})\)
      同理 \((\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{nx}{2})\)
    2. \(f(x)=(2x+1)^{-1}\)
      \(f^\prime(x)=(-1)(2x+1)^{-2}\times 2\)
      \(f^{\prime\prime}(x)=(-1)(-2)(2x+1)^{-3}\times 2^2\)
      \(\therefore f^{(n)}(x)=(-1)^n\times n! \times 2^n \times (2x+1)^{-(n+1)}\)

求导法则

  1. 四则法则
    设 \(u(x)\), \(v(x)\) 可导, 则

    1. 加减: \([u(x)\pm v(x)]^\prime=u^\prime(x)\pm v^\prime(x)\)
    2. 数乘: \((ku)^\prime=ku^\prime\)
    3. 乘: \([u(x)v(x)]^\prime=u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)\)
    4. 除: \([\frac{u(x)}{v(x)}]^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)}\enspace(v(x)\neq 0)\)
      推论: \((uvw)^\prime=u^\prime vw+uv^\prime w+uvw^\prime\)

    证明:

    1. 令 \(\varphi(x)=u(x)+v(x)\)
      \(\begin{array}{rl} \Delta\varphi & =\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x) \\ & =u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)-u(x)-v(x) \\ & =\Delta u+\Delta v \end{array}\)
      \(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=u^\prime(x)+v^\prime(x)\)

    2. 令 \(\varphi(x)=u(x)v(x)\)

      $$ \begin{array}{rl} \footnotesize\Delta\varphi & \footnotesize=\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x) \\ & \footnotesize=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x) \\ & \footnotesize=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x) \\ & \footnotesize=\Delta uv(x+\Delta x)+u(x)\Delta v \end{array} $$

      \(\begin{array}{rl} \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta x} & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)+u(x)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x} \\ & =u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x) \end{array}\)
      提示: \(\lim\limits_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)=v(x)\)

    3. 令 \(\varphi(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\enspace(v(x)\neq 0)\)

      $$ \begin{array}{rl} \footnotesize\Delta\varphi=\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x) & =\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)} \\ & =\frac{u(x+\Delta x)v(x)-v(x+\Delta x)u(x)}{v(x+\Delta x)v(x)} \\ & =\frac{[u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)]-[u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)]}{v(x+\Delta x)v(x)} \\ & =\frac{\Delta uv(x)-u(x)\Delta v}{v(x+\Delta x)v(x)} \end{array} $$

      \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta x}=\frac{\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot v(x)-u(x)\cdot\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(x)\lim\limits_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)}=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)}\)
      提示: \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)=v(x)\)

  2. 反函数求导法则
    \(y=f(x)\) 可导且 \(f(x)^\prime\neq 0\) (导数不为零意味着严格单调, 即反函数存在条件),
    则反函数 \(x=\varphi(y)\) 可导且 \(\varphi^\prime(y)=\frac{1}{f^\prime(x)}\)

    证明:
    \(\varphi^\prime(y)=\lim\limits_{\Delta y\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=\lim\limits_{\Delta y\to 0}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\underbrace{\lim\limits_{\Delta x\to 0}}_{\text{式➀}}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f^\prime(x)}\)
    ➀ \(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\neq 0,\infty\rArr\Delta y=O(\Delta x)\) 同阶无穷小

  3. 复合函数求导法则
    (如何判断复合函数: 看其中一个函数的值域是否是另一个函数的定义域的子集)
    \(y=f(u)\) 可导, \(u=\varphi(x)\) 可导且 \(\varphi^\prime(x)\neq 0\), 则 \(y=f(\varphi(x))\) 可导
    有 \(f[\varphi(x)]^\prime=f^\prime[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)\)

    证明:

    • 用极限:

      $$ \begin{array}{rl} f[\varphi(x)]^\prime & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}(\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}) \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \\ & =\underbrace{\lim\limits_{\Delta u\to 0}}_{\text{式➀}}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \\ & =f^\prime(u)\cdot\varphi^\prime(x) \end{array} $$

      ➀ \(\varphi^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\neq 0,\infty\rArr\Delta u=O(\Delta x)\) 同阶无穷小

    • 用微分: \(f[\varphi(x)]^\prime=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f^\prime(u)\cdot\varphi^\prime(x)=f^\prime[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)\)

高阶导数

二阶及以上的导数称为高阶导数.

  1. 二阶导数: 对导数再求导一次就是二阶导数
    \(f^{\prime\prime}(x)=[f^\prime(x)]^\prime=\frac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)
    同理三阶导数 \(\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}\), \(n\) 阶导数 \(f^{(n)}=\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}\)
  2. 高阶导数求导方法:
    1. 归纳法
    2. 公式法:
      \((uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime\rArr(uv)^{\prime\prime}=(u^\prime v)^\prime+(uv^\prime)^\prime=u^{\prime\prime}v+2u^\prime v^\prime+uv^{\prime\prime}\)
      (重要)莱布尼茨公式
      \((uv)^{(n)}=C_n^0 u^{(n)}v+C_n^1 u^{(n-1)}v^\prime+C_n^2 u^{(n-2)}v^{\prime\prime}+\dots+C_n^n uv^{(n)}\)

隐函数及由参数方程确定的函数求导

  1. 隐函数求导
    • 显函数: \(y=f(x)\)

    • 隐函数: \(F(x,y)=0\enspace\underrightarrow{\text{显式化}}\enspace y=f(x)\)

    • 方法:
      \(F(x,y)=0\), 将 \(y\) 视作关于 \(x\) 的函数 (\(y=f(x)\)), 两边对 \(x\) 求导.
      求导时 \(y^\prime=f^\prime(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\), 最终将一边化为 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)

      例: \(e^{x+y}=x^2+y+1\) 确定 \(y\) 为 \(x\) 的函数, 求 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)
      解: 两边对 \(x\) 求导得

      $$ \begin{array}{rl} & e^{x+y}(1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=2x+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \\ \hArr & (e^{x+y}-1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x-e^{x+y} \\ \hArr & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2x-e^{x+y}}{e^{x+y}-1} \end{array} $$
  2. 参数方程确定的函数求导
    \(\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}\), 其中 \(\varphi(t) , \psi(t)\) 可导, 则 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\enspace(\varphi(t)\neq 0)\)

    证明:
    \(\because\varphi^\prime(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\), \(\psi^\prime(t)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\)
    \(\therefore\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)

微分

(一般情况下都是先有导数后求微分, 微分的主要应用是在知道导数的情况下求 \(\Delta y\) 的近似值 \(\mathrm{d}y\))

  1. 微分定义
    1. 什么是微分
      \(y=f(x)\enspace(x\in D)\), \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\enspace(x_0,(x_0+\Delta x)\in D)\)
      若 \(\Delta x\to 0\) 时 , \(\Delta y\) 和 \(\Delta x\) 的关系能化为线性形式: \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)
      则称该函数在点 \(x=x_0\) 可微, 记作 \(\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}=A\Delta x=A\mathrm{d}x\)

    2. 定理: 可导 \(\hArr\) 可微

      证明:
      设函数 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处可微, 则有 \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\).
      当 \(\Delta x\neq 0\) 时

      $$ \begin{array}{rl} \frac{\Delta y}{\Delta x} & =A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \\ \hArr\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}[A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}]=A \end{array} $$

      由上述证明可知, 若函数 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处可微, 其微分为

      $$ \left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}=f^\prime(x_0)\Delta x $$

      \(\Delta y\) 可表示为该点的微分 \(\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}\) 加上 \(\Delta y\) 与 \(\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}\) 的差值:

      $$ \begin{array}{rl} & \Delta y=\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}+(\Delta y-\left.\mathrm{d}y\right|_{x=x_0}) \\ \rArr & \Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\underbrace{[\Delta y-f^\prime(x_0)\Delta x]}_{\text{式➀}} \end{array} $$

      当 \(\Delta x\to 0\) 时

      $$ \begin{array}{rl} \text{➀} & =\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y-f^\prime(x_0)\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y-\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}(\frac{\Delta y\Delta x}{\Delta x}-\frac{\Delta y\Delta x}{\Delta x}) \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}(\frac{0}{\Delta x})=0 \rArr o(\Delta x) \end{array} $$
    3. 函数的微分: 结合导函数定义可得 \(\mathrm{d}y=f^\prime(x)\Delta x=f^\prime(x)\mathrm{d}x\)
      (\(\mathrm{d}x=x^\prime\Delta x=\Delta x\))

  2. 近似计算:
    若要求 \(f(x)\) 的值, 可以找离 \(x\) 较近的点 \(x_0\), 它们的距离是 \(\Delta x\), 且 \(f(x_0)\) 的值已知
    则 \(f(x)=f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\Delta y\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)\Delta x\)
    • 求近似值还可利用 0 的特殊性:
      \(x\to 0\) 时, \(f(x)=f(0+x)\approx f(0)+f^\prime(0)x\)
      1. \(\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{x}{n}\)
      2. \(e^x\approx 1+x\)
      3. \(\ln(1+x)\approx x\)
  3. 微分公式
    1. \(\mathrm{d}(c)=c^\prime\mathrm{d}x=0\)
    2. \(\mathrm{d}(x^a)=ax^{a-1}\mathrm{d}x\)
    3. \(\mathrm{d}(a^x)=a^x\ln a\mathrm{d}x\)
    4. \(\mathrm{d}(\log_a x)=\frac{1}{x\ln a}\mathrm{d}x\)
    5. \(\mathrm{d}(\sin x)=\cos x\mathrm{d}x\)
      \(\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x\mathrm{d}x\)
      \(\mathrm{d}(\tan x)=\sec^2 x\mathrm{d}x\)
      \(\mathrm{d}(\cot x)=-csc^2 x\mathrm{d}x\)
      \(\mathrm{d}(\sec x)=\sec x\tan x\mathrm{d}x\)
      \(\mathrm{d}(\csc x)=-\csc x\cot x\mathrm{d}x\)
    6. \(\mathrm{d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\)
      \(\mathrm{d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\)
      \(\mathrm{d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x\)
      \(\mathrm{d}(\operatorname{arccot} x)=-\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x\)
  4. 微分四则运算
    设函数 \(u\), \(v\)
    1. 加减: \(\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm\mathrm{d}v\)
    2. 乘: \(\mathrm{d}(uv)=\mathrm{d}u\cdot v+u\cdot\mathrm{d}v\)
    3. 除: \(\mathrm{d}(\frac{u}{v})=\frac{\mathrm{d}u\cdot v-u\cdot \mathrm{d}v}{v^2}\)
  5. 复合函数求微分
    \(y=f(u)\), \(u=\varphi(x)\)
    则 \(\mathrm{d}y=f^\prime[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)\mathrm{d}x=f^\prime[\varphi(x)]\mathrm{d}\varphi(x)=f^\prime(u)\mathrm{d}u\)

微分中值定理及导数应用

微分中值定理

  1. 罗尔中值定理

    若:

    1. \(f(x)\in C[a,b]\)
    2. \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导
    3. \(f(a)=f(b)\)

    则 \(\exist\xi\in(a,b)\), 使 \(f^\prime(\xi)=0\)

  2. 拉格朗日中值定理

    若:

    1. \(f(x)\in C[a,b]\)
    2. \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导

    则 \(\exist\xi\in(a,b)\), 使 \(f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

    (几何意义为 \(a\), \(b\) 间存在某个点的斜率等于 \(a\), \(b\) 两点所成直线的斜率. 某点导数就是该点切线的斜率)
    证明:
    作虚线 \(L_{ab}\) 连接点 \(a\)、\(b\), 带入直线点斜式方程可得:
    \(L_{ab}:y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\hArr y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)
    令 \(\varphi(x)=\text{曲}-\text{直}=f(x)-y=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)
    \(\varphi(x)\in C[a,b]\), \(\varphi(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导且 \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\)
    根据罗尔中值定理, \(\exist\xi\in(a,b)\), 使 \(\varphi^\prime(\xi)=0\)
    \(\therefore\varphi^\prime(\xi)=f^\prime(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\rArr f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

  3. 柯西中值定理
    若:

    1. \(f(x),g(x)\in C[a,b]\)
    2. \(f(x),g(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导
    3. \(g^\prime(x)\neq 0\enspace(x\in(a,b))\)

    则 \(\exist\xi\in(a,b)\), 使 \(\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

    证明:
    构造辅助函数 \(\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]\)
    \(\varphi(x)\in C[a,b]\), \(\varphi(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导且可知 \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\)
    \(\therefore\exist\xi\in(a,b)\), 使 \(\varphi^\prime(\xi)=0\)
    \(\therefore\varphi^\prime(\xi)=f^\prime(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime(\xi)=0\rArr\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

洛必达法则

  1. 问题的起源: 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\)
    解:
    法1: 原式 \(=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x(1-\overbrace{\cos x)}^{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac{1}{2}\)
    法2: 原式 \(=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-x}{x^3}=0\) (不行, 精确度不够)
    同样使用等价无限小, 却得到了不同的结果.
    说明对于存在 无穷小比无穷小(\(\frac{0}{0}\)) 的极限 , 用等价无穷小解极限有局限性, 分子分母经等价无穷小转化后不同阶, 导数精确度不够
    洛必达法则的目标: 解 \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) 类极限新方法

  2. 洛必达法则:
    若:

    1. \(f(x)\)、\(g(x)\) 在点 \(x=a\) 的去心邻域内可导且 \(g^\prime(x)\neq 0\)
    2. \(\frac{0}{0}\) 型: \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=0\), \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=0\)
      \(\frac{\infty}{\infty}\) 型: \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\), \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=\infty\)
    3. \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=A\)

    则 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A\)

    洛必达法则证明: (利用柯西中值定理)

    • \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=0\), \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=0\)
      \(\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\enspace(\xi\in(a,x))\)
      \(\therefore\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=\lim\limits_{\xi\to a}\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=A\)
      (\(x\to a\), \(\xi\) 介于 \(a\) 与 \(x\) 之间 \(\rArr\xi\to a\))

    • \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\), \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=\infty\)

      $$ \begin{array}{rl} \frac{f(x)}{g(x)} & =\frac{f(x)-f(a)}{g(x)}+\frac{f(a)}{g(x)} \\ & =\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}+\frac{f(a)}{g(x)} \\ & =[1-\frac{g(a)}{g(x)}]\cdot\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}+\frac{f(a)}{g(x)}\enspace(\xi\in(a,x)) \end{array} $$

      \(\hArr\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}[1-\frac{g(a)}{g(x)}]\cdot\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}+\lim\limits_{x\to a}\frac{f(a)}{g(x)}\)
      \(\because f(a)\)、\(g(a)\) 是定值 (因此远远小于 \(\infty\))
      \(\therefore\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}=A\)

  3. 注意

    1. 若 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\) 不存在, 只表明洛必达法则不能使用, 不代表极限 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\) 不存在
    2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^a}=0\enspace(a>0)\)
      \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^a}{b^x}=0\enspace(a>0,b>1)\)

泰勒公式

  1. 泰勒公式
    设 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 邻域内 \(n+1\) 阶可导
    则 \(f(x)=P_n(x)+R_n(x)\)
    其中:
    \(P_n(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)
    \(R_n(x)=o((x-x_0)^n)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\enspace\) (\(\xi\) 介于 \(x_0\) 与 \(x\) 之间)
    如果 \(x_0=0\), 这个式子被称为麦克劳林公式

    泰勒公式证明:
    设 \(\footnotesize f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\dots+a_n(x-x_0)^n\)
    要使这个式子派用场, 得找到 \(a_0,a_1,\dots\) 这些系数的值, 怎么做呢?
    要得到 \(a_0\), 可以使 \(x=x_0\), 这样其他项就消除了
    那其他的 \(a_1,a_2,a_3\) 呢? 我们可以不断对该式求它的一阶, 二阶, 三阶, … 导数:
    \(f^\prime(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\dots+na_n(x-x_0)^{n-1}\)
    \(f^{\prime\prime}(x)=2a_2+3\cdot 2a_3(x-x_0)^2+\dots+n(n-1)(x-x_0)^{n-2}\)
    \(\dots\)
    发现规律了吗, 将 \(x=x_0\) 带入, 可以轻松得到对应项的系数值:
    \(a_1=\frac{f^\prime(x_0)}{1}\), \(a_2=\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{1\cdot 2}\), \(a_3=\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_0)}{1\cdot 2\cdot 3}\rArr a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\)
    然后式子就能写成 \(\footnotesize f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)

(常见泰勒展开式见章节: 无穷级数->函数展开成幂级数)

导数与函数单调性和曲线凹凸性的关系

  1. 导数与函数单调性
    导数可以判别函数的单调性:
    \(f(x)\enspace(x\in[a,b])\) 在 \((a,b)\) 内可导
    1. 若 \(f^\prime(x)>0\enspace(a<x<b)\), 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调递增
    2. 若 \(f^\prime(x)<0\enspace(a<x<b)\), 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调递减
  2. 导数与曲线凹凸性
    1. 曲线凹凸性的定义:
      1. 若 \(\forall x_1,x_2\in D\) 且 \(x_1\neq x_2\), 有
        \(f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)
        则 \(f(x)\) 在 \(D\) 内为凹函数

      2. 若 \(\forall x_1,x_2\in D\) 且 \(x_1\neq x_2\), 有
        \(f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)
        则 \(f(x)\) 在 \(D\) 内为凸函数

    2. 二阶导数判别法:
      \(f(x)\enspace(x\in[a,b])\) 在 \((a,b)\) 内二阶可导
      1. 若 \(f^{\prime\prime}(x)>0\enspace(a<x<b)\), 则 \(y=f(x)\) 图像在 \([a,b]\) 上是凹的
      2. 若 \(f^{\prime\prime}(x)<0\enspace(a<x<b)\), 则 \(y=f(x)\) 图像在 \([a,b]\) 上是凸的

极值与最值

一个函数中, 极大值、极小值可以有很多, 但最大值、最小值只能有一个

  1. 极大值与极小值
    1. 定义:
      设 \(y=f(x)\enspace(x,x_0\in D)\)
      若 \(\exist\delta>0\), 当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时
      1. 有 \(f(x)>f(x_0)\), 称 \(x_0\) 为极小点, \(f(x_0)\) 为极小值
      2. 有 \(f(x)<f(x_0)\), 称 \(x_0\) 为极大点, \(f(x_0)\) 为极大值
    2. 求极值的步骤:
      1. 法一(利用目标点附近导数)
        1. 若同时满足 \(\begin{array}{cc} x<x_0 & f^\prime(x)<0 \\ x>x_0 & f^\prime(x)>0 \end{array}\) 则 \(x=x_0\) 为极小点
        2. 若同时满足 \(\begin{array}{cc} x<x_0 & f^\prime(x)>0 \\ x>x_0 & f^\prime(x)<0 \end{array}\) 则 \(x=x_0\) 为极大点
      2. 法二(利用二阶导数)
        设 \(f^\prime(x_0)=0\), \(f^{\prime\prime}(x_0)\begin{cases} >0 & x_0 \text{为极小点} \\ < 0 & x_0 \text{为极大点} \end{cases}\)
  2. 最大值与最小值
    设 \(f(x)\in C[a,b]\)
    则极小值和极大值可在 \(f(a)\)、\(f(b)\) 和其他使 \(f^\prime(x)=0\text{或不存在}\) 的点之中找到

函数图像描绘

  1. 渐近线
    设函数 \(f(x)\)
    1. 水平渐近线:

      若 \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\)
      称 \(f(x)\) 有水平渐近线 \(y=A\)

    2. 垂直渐近线:

      若 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\)
      称 \(f(x)\) 有垂直渐近线 \(x=a\)

    3. 斜渐近线:

      1. \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=k \quad\) (可以理解为斜率)
      2. \(\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-kx]=b\)

      称 \(f(x)\) 有斜渐近线 \(y=kx+b\)

  2. 作图
    (根据一阶和二阶导数的值描绘函数曲线)
    设函数 \(f(x)\enspace(x\in D)\)
  3. 在定义域内:
    找出 \(f^\prime(x)=0\text{或不存在}\) 的所有点
    找出 \(f^{\prime\prime}(x)=0\text{或不存在}\) 的所有点
  4. 画渐近线
  5. 作表
    \(x\) () ? () ? \(\dots\)
    \(f^\prime(x)\) \(+\) \(-\)
    \(f^{\prime\prime}(x)\) \(+\) \(+\)
    \(f(x)\) \(\nearrow\) 极大 \(\searrow\)
  6. 在坐标系上找到关键点, 描图

弧微分与曲率

  1. 弧微分
    前面的微分能让我们求 \(\Delta y\) 的近似值, 也就是从 \(x\) 到 \(x_0\) 后 \(y\) 轴的偏移量近似值
    但如果我们想要求从 \(x\) 到 \(x_0\) 间这段函数曲线长度的近似值(即弧微分)呢?

    两种弧微分形式:

    1. 普通函数
      \(L:f(x)\)
      \(\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2(\mathrm{d}x)^2}=\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x\)
    2. 参数方程
      \(L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}\)
      \(\footnotesize\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^2(\mathrm{d}t)^2+[\psi^\prime(t)]^2(\mathrm{d}t)^2}=\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^2+[\psi^\prime(t)]^2}\mathrm{d}t\)
  2. 曲率与曲率半径

    1. 曲率大小的因素:
      1. 角度一定, 弯曲度与两点间的弧长成反比

        \(\Delta\alpha\) 一定, \(|\stackrel\frown{M_1N_1}|<|\stackrel\frown{M_2N_2}|\)

      2. 弧长一定, 弯曲度与切线夹角成正比

        \(|\stackrel\frown{MN}|\) 一定, \(\Delta\alpha_1>\Delta\alpha_2\)

  3. 曲率定义:

    设 \(L:f(x)\), \(|\stackrel\frown{MM^\prime}|=\Delta s\)

    • 平均曲率 \(\bar{k}=\dfrac{|\Delta\alpha|}{|\Delta s|}\)
    • 某点曲率 \(k=\lim\limits_{\Delta x\to 0}|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|=|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}|=\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{(1+[f^\prime(x)]^2)^\frac{3}{2}}\)

      证明:

      可知 \(f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\tan\alpha\), 两边对 \(x\) 求导得 \(f^{\prime\prime}(x)=\sec^2\alpha\cdot\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}\)
      \(\because\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha=1+[f^\prime(x)]^2\)
      \(\therefore\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}=\frac{f^{\prime\prime}(x)}{1+[f^\prime(x)]^2}\rArr\mathrm{d}\alpha=\frac{f^{\prime\prime}(x)}{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x\)

    • 曲率半径: \(R=\frac{1}{k}\)

不定积分

不定积分的概念与性质

  1. 原函数:
    设 \(f(x)\), \(F(x)\enspace(x\in I)\)
    若 \(\forall x\in I\), 有 \(F^\prime(x)=f(x)\), 称 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的其中一个原函数
    注意:
    1. 一个函数若有原函数, 则一定有无数个原函数
      设 \(F^\prime(x)=f(x)\)
      则 \(F(x)+C\) 为 \(f(x)\) 的一切原函数
    2. 一个函数的的任意两个原函数之差 \(\in C\)
  2. 不定积分
    \(F(x)+C\) 为 \(f(x)\) 的所有原函数
    则称 \(F(x)+C\) 就是 \(f(x)\) 的不定积分, 记作 \(\int f(x)\mathrm{d}x\)
  3. 不定积分公式
    1. \(\int k\mathrm{d}x=kx+C\)
    2. \(\int x^a\mathrm{d}x=\begin{cases} \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C & (a\neq -1) \\ \ln|x|+C & (a=-1) \end{cases}\)
    3. \(\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C\)
    4. \(\int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\)
      \(\int\cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\)
      \(\int\tan x\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C\)
      \(\int\cot x\mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C\)
      \(\int\csc x\mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C\)
      \(\int\sec x\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C\)
      \(\int\sec^2x\mathrm{d}x=\tan x+C\)
      \(\int\csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C\)
      \(\int\sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C\)
      \(\int\csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C\)
    5. \(\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C\)
      \(\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C\)
      \(\int\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C\)
      \(\int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\)
      \(\int\frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\)
      \(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\)
      \(\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\)
      \(\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C\)

    证明:

    1. \(\footnotesize\int x^a\mathrm{d}x\enspace(a=-1)\rArr\begin{cases} \int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln(-x)+C & (x<0) \\ \int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln(x)+C & (x>0) \end{cases}\rArr\ln|x|+C\)

    2. \(\int\tan x\mathrm{d}x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x=-\int\frac{1}{\cos x}\mathrm{d}(\cos x)=-\ln|\cos x|+C\)

    3. \(\int\cot x\mathrm{d}x=\int\frac{\cos x}{\sin x}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}(\sin x)=\ln|\sin x|+C\)

    4. 这里只证明 \(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x\)

      令 \(x=a\tan t\) (第二类换元积分法)

      $$ \begin{array}{rl} \text{原式}=\int\frac{a\sec^2t}{a\sec t}\mathrm{d}t & =\int\sec t\mathrm{d}t \\ & =\ln|\sec t+\tan t|+C \\ & =\ln|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C \\ & =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|\cdot\frac{1}{a}+C \\ & =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+\ln\frac{1}{a}+C \\ & =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\enspace(\ln\frac{1}{a}\text{并入}C) \\ & =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C \\ & =\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \end{array} $$
  4. 不定积分性质
    1. \(\int[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x\)
    2. \(\int af(x)\mathrm{d}x=a\int f(x)\mathrm{d}x\)

不定积分的换元积分法与分部积分法

  1. 换元积分法

    1. 第一类换元积分法
      \(f(u)\) 存在原函数 \(F(u)\) 且 \(\varphi(x)\) 可导, 则
      \(\footnotesize\int f[\varphi(x)]\underbrace{\varphi^\prime(x)\mathrm{d}x}_{f^\prime(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}f(x)}=\int\underbrace{f[\varphi(x)]\mathrm{d}\varphi(x)}_{\text{设}\varphi(x)=t}=\int f(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi(x)]+C\)
    2. 第二类换元积分法
      \(x=\psi(t)\) 可导且 \(\psi^\prime(t)\neq 0\)
      \(\footnotesize\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\psi(t)]\mathrm{d}\psi(t)=\int f[\psi(t)]\psi^\prime(t)\mathrm{d}t=\int g(t)\mathrm{d}t=G(t)+C=G[\psi^{-1}(x)]+C\)
      例: \(\int\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x\)
      解:
      令 \(x=t^6\)
      $$ \begin{array}{rl} \text{原式} & =6\int\frac{t^5}{t^3+t^2}\mathrm{d}t \\ & =6\int\frac{(t^3+1)-1}{t+1}\mathrm{d}t \\ & =6\int\frac{t^3+t^2+1-t^2}{t+1}-\frac{1}{t+1}\mathrm{d}t \\ & =6\int\frac{t^2(t+1)+(1+t)(1-t)}{t+1}-\frac{1}{t+1}\mathrm{d}t \\ & =6\int(t^2-t+1)-\frac{1}{t+1}\mathrm{d}t \\ & =6[\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2+t-\ln|t+1|]+C \\ & =2t^3-3t^2+6t-6\ln|t+1|+C \\ & =2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln|\sqrt[6]{x}+1|+C \end{array} $$
  2. 分部积分法
    先用换元积分法将积分式变成 \(\int u\mathrm{d}v\) 的形式
    然后用分部积分公式: \(\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u\)

    证明:
    \(uv=\int(uv)^\prime\mathrm{d}x=\int u^\prime v\mathrm{d}x+\int uv^\prime\mathrm{d}x=\int v\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}v\)

    例: \(\int x^2\ln x\mathrm{d}x\)
    解:

    $$ \begin{aligned} \int x^2\ln x\mathrm{d}x & =\int\ln x\mathrm{d}(\frac{1}{3}x^3) \\ & =\frac{1}{3}x^3\ln x-\int\frac{1}{3}x^3\mathrm{d}(\ln x) \\ & =\frac{1}{3}x^3\ln x-\frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x \\ & =\frac{1}{3}x^3\ln x-\frac{1}{9}x^3+C \end{aligned} $$

定积分

定积分的概念与性质

  1. 定积分定义
    设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界, \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 为 \([a,b]\) 间的分段点

    1. \(a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b\), \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\enspace(1\leqslant i\leqslant n)\)
    2. \(\exist s_i\in[x_{i-1},x_i]\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\)
    3. \(\lambda=\operatorname{max}\{\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_n\}\)

    若 \(\displaystyle\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\) 存在, 称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积
    称该极限为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的定积分, 记作 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)
    即 \(\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^n\textstyle f(\xi_1)\Delta x_i=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)

    注:

    1. \(L:y=f(x)\geqslant 0\enspace(x\in[a,b])\)
      则 \(A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)
      例: 物理中知道速度函数和时间求位移(\(v\) 为速度, \(t\) 为时间)
      设 \(v=V(t)\enspace(t\in[a,b])\)
      则 \(S=\int_a^b V(t)\mathrm{d}t\)
    2. \(\displaystyle\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_1)\Delta x_i\) 与 \([a,b]\) 分法及 \(\xi_i\) 取法无关
    3. \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界不一定可积
      如分段函数 \(f(x)=\begin{cases} 1 & x\in Q \\ 0 & x\in R-Q \end{cases}\)
    4. 若 \(f(x)\in C[a,b]\), 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积
      若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上只有有限个第一类间断点, 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积
  2. 定积分的一般性质

    1. \(\int_a^a f(x)\mathrm{d}x=0\)
      \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x\)

    2. \(\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\pm\int_a^b g(x)\mathrm{d}x\)

    3. \(\int_a^b kf(x)\mathrm{d}x=k\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)

    4. \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{d}x\enspace(a<b)\)
      (即使 \(c<a<b\) 也成立, 因为 \(\int_a^c\) 是负的, 正好减去了 \(\int_c^b\) 多出来的, \(a<b<c\) 同理)

    5. \(\int_a^b 1\mathrm{d}x=b-a\)

    6. 定积分间的比较

      1. \(f(x)\geqslant 0\enspace(a\leqslant x\leqslant b)\), 则 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\geqslant 0\)
      2. \(f(x)\geqslant g(x)\enspace(a\leqslant x\leqslant b)\), 则 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\geqslant\int_a^b g(x)\mathrm{d}x\)
      3. 若 \(f(x)\)、\(|f(x)|\) 在 \([a,b]\) 上可积, 则 \(|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x|\leqslant\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x\)
    7. 积分中值定理

      设 \(f(x)\in C[a,b]\), 则 \(\exist\xi\in[a,b]\), 使 \(\underbrace{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x}_{\text{曲边梯形面积}}=\underbrace{f(\xi)(b-a)}_{\text{矩形面积}}\)

      证明:
      \(\because f(x)\in C[a,b]\)
      \(\therefore\exist m,M\in[a,b]\), 使 \(m(b-a)\leqslant\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leqslant M(b-a)\)
      \(\rArr m\leqslant\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leqslant M\)
      \(\therefore\exist\xi\in[a,b]\), 使 \(f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\rArr\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=(b-a)f(\xi)\) (介值定理)

积分基本定理

  1. 积分上限函数及其与目标函数的关系:
    设 \(f(x)\in C[a,b]\), 令 \(\varPhi(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t\), 则 \(\varPhi^\prime(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\mathrm{d}t=f(x)\)
    复合函数推论: \(\varPhi[\varphi(x)]^\prime=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi(x)}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t\cdot\frac{\varphi(x)}{x}=f[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)\)

    证明:
    \(\footnotesize\Delta\varPhi=\varPhi(x+\Delta x)-\varPhi(x)=\int_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t-\int_a^x f(t)\mathrm{d}t=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t\)
    \(\because f(x)\in C[a,b]\rArr f(x)\in C[x,x+\Delta x]\)
    \(\therefore\exist\xi\in[x,x+\Delta x]\), 使(积分中值定理)

    $$ \begin{array}{rl} \footnotesize f(\xi)\Delta x=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t=\Delta\varPhi & \rArr\frac{\Delta\varPhi}{\Delta x}=f(\xi) \\ & \rArr\footnotesize\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta\varPhi}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(\xi)=\lim\limits_{\xi\to x}f(\xi)=f(x) \\ & \rArr\varPhi^\prime(x)=f(x) \end{array} $$
  2. 定积分与不定积分的比较:
    \(\int f(x)\neq\int f(t)\enspace(x\) 与 \(t\) 可能是不同的函数, 他们的值域不同, 导致积结果不同)
    \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\enspace\) (\(x\) 与 \(t\) 可能是不同的函数, 但积分范围被限制在 \([a,b]\), 即 \(x,t\in[a,b]\), 所以相等)
    因此: 定积分由上下限、函数关系确定, 与积分变量无关
    即 \(\varPhi(x)=\int_a^x f(x)\mathrm{d}x=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t\enspace\) (注意自变量的 \(x\) 与积分上限的 \(x\) 不同)
  3. 牛顿莱布尼茨公式
    \(f(x)\in C[a,b]\), \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的一个原函数, 则 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b\)

    证明:
    \(\because F^\prime(x)=f(x)\), \(\varPhi^\prime(x)=f(x)\)
    (\(F(x)\) 与 \(\varPhi(x)\) 皆为 \(f(x)\) 的原函数)
    \(\therefore \begin{cases} F(a)-\varPhi(a)=C_0 \\ F(b)-\varPhi(b)=C_0 \end{cases}\rArr F(a)-\varPhi(a)=F(b)-\varPhi(b)\)
    \(\because\varPhi(a)=\int_a^a f(t)\mathrm{d}t=0\)
    \(\therefore F(a)=F(b)-\varPhi(b)\hArr\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\varPhi(b)=F(b)-F(a)\)

  4. 积分中值定理的推广
    \(f(x)\in C[a,b]\), 则 \(\exist\xi\in(a,b)\) (这里变成了闭区间), 使 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)\)

    证明: 设 \(F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t\), \(F^\prime(x)=f(x)\)
    \(\exist\xi\in(a,b)\) 使 \(F^\prime(\xi)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\) (拉格朗日中值定理)
    \(\footnotesize\therefore\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F^\prime(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)\enspace(\xi\in(a,b))\)

定积分的换元积分法与分部积分法

  1. 换元积分法
    若 \(f(x)\in C[a,b]\), \(x=\varphi(t)\) 满足:

    1. \(\varphi(t)\) 为单调函数且 \(\varphi(\alpha)=a\), \(\varphi(\beta)=b\)
    2. \(x=\varphi(t)\) 连续可导

    则 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)\mathrm{d}t\)

    证明:
    设 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数

    $$ \begin{array}{rl} \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)\mathrm{d}t & =\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\mathrm{d}\varphi(t) \\ & =F[\varphi(\beta)]-F[\varphi(\alpha)] \\ & =F(b)-F(a) \\ & =\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \end{array} $$
  2. 分部积分法
    \(\int_a^b u\mathrm{d}v=(uv)|_a^b-\int_a^b v\mathrm{d}u\)

    证明: \(\left.uv\right|_a^b=\int_a^b(uv)^\prime\mathrm{d}x=\int_a^b u^\prime v\mathrm{d}x+\int_a^b uv^\prime\mathrm{d}x=\int_a^b v\mathrm{d}u+\int_a^b u\mathrm{d}v\)

    例: 导出 \(I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n x\mathrm{d}x\) (\(n\) 为非负整数)的递推公式
    解: 易见 \(I_0=\int_0^\frac{\pi}{2}1\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\), \(I_1=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin x\mathrm{d}x=1\). 当 \(n\geqslant 2\) 时

    $$ \begin{array}{rl} I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n x\mathrm{d}x & =\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\mathrm{d}x \\ & =\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}x[-(\cos x)^\prime]\mathrm{d}x \\ & =-\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}x\mathrm{d}\cos x \\ & =\left.-(\sin^{n-1}x\cdot\cos x)\right|_0^\frac{\pi}{2}+\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x\mathrm{d}\sin^{n-1}x \\ & =\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x(\sin^{n-1}x)^\prime\mathrm{d}x \\ & =\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x\cdot\sin^{n-1\prime}x(\sin x)^\prime\mathrm{d}x \\ & =(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}x\cos^2 x\mathrm{d}x \\ & =(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2 x)\mathrm{d}x \\ & =(n-1)[\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}\mathrm{d}x-\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n x\mathrm{d}x] \\ & =(n-1)(I_{n-2}-I_n) \end{array} $$

    从而得到递推公式 \(I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)

反常积分

  1. 正常积分标准:
    1. 区间有限
    2. \(f(x)\) 在区间上连续或有限个第一类间断点
  2. 积分区间无限
    1. \(f(x)\in C[a,+\infty)\)
      有 \(\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]\)
      1. 若 \(\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]\) 存在, 称 \(\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x\) 收敛
      2. 若 \(\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]\) 不存在, 称 \(\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x\) 发散
    2. \(f(x)\in C(-\infty,a]\)
      有 \(\lim\limits_{b\to-\infty}[F(a)-F(b)]=\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x\)
      1. 若 \(\lim\limits_{b\to-\infty}[F(a)-F(b)]\) 存在, 称 \(\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x\) 收敛
      2. 若 \(\lim\limits_{b\to-\infty}[F(a)-F(b)]\) 不存在, 称 \(\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x\) 发散
    3. \(f(x)\in C(-\infty,+\infty)\)
      若 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛 \(\hArr\int_{-\infty}^{a}f(x)\mathrm{d}x\) 与 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 收敛
      且 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x+\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\)
    4. Gamma 函数 \(\Gamma\)
      定义: \(\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x}\mathrm{d}x\)
      特性:
      1. \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\)
      2. \(\Gamma(n+1)=n!\enspace(n\in Z)\)
      3. \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)
  3. 无界函数反常积分
    1. 左无界: \(f(x)\in c(a,b]\) 且 \(f(a+0)=\infty\enspace\) (\(a\) 称作瑕点)
      \(\forall\varepsilon>0\), \(\lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}[F(b)-F(a+\varepsilon)]=\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\mathrm{d}x\)
      1. 若 \(\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}[F(b)-F(a+\varepsilon)]\) 存在, 称 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\) 收敛
      2. 若 \(\lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}[F(b)-F(a+\varepsilon)]\) 不存在, 称 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\) 发散
    2. 右无界: \(f(x)\in c[a,b)\) 且 \(f(b-0)=\infty\)
      \(\forall\varepsilon>0\), \(F(b-\varepsilon)-F(a)=\int_a^{b-\varepsilon}f(x)\mathrm{d}x\)
      1. 若 \(\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}[F(b-\varepsilon)-F(a)]\) 存在, 称 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\) 收敛
      2. 若 \(\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}[F(b-\varepsilon)-F(a)]\) 不存在, 称 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\) 发散
    3. 中无界: \(f(x)\in c[a,c)\cup(c,b]\) 且 \(\lim\limits_{x\to c}f(x)=\infty\)
      若 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\) 收敛 \(\hArr\int_a^c f(x)\mathrm{d}x\) 与 \(\int_c^b f(x)\mathrm{d}x\) 收敛
      且 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{d}x\)

定积分应用

  1. 元素法
    经典积分思想: 分成无数细小的段然后加起来
    元素法思想:

    1. 取 \([x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]\)
    2. \(\mathrm{d}A=f(x)\mathrm{d}x\)
    3. \(A=\int_a^b\mathrm{d}A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)

    例: 求 \(L:x^2+y^2=R^2\) 围成的面积

    解:

    1. 取 \([x,x+\mathrm{d}x]\subset[0,R]\)
    2. \(\mathrm{d}A_1=\sqrt{R^2-x^2}\mathrm{d}x\)
    3. \(A_1=\int_0^R\sqrt{R^2-x^2}\mathrm{d}x\)
    4. 设 \(x=R\sin t\), 则有
      \(\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{R^2-R^2\sin^2t}(R\cos t)\mathrm{d}t\)
      \(=\int_0^\frac{\pi}{2}R^2\sqrt{1-\sin^2t}\cos t\mathrm{d}t\)
      \(=\int_0^\frac{\pi}{2}R^2\cos^2t\mathrm{d}t\)
      \(=R^2\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^2t\mathrm{d}t\)
      \(=R^2\times\frac{1}{2}I_0=\frac{\pi}{4}R^2\)
      \(\therefore A=4A_1=\pi R^2\)
  2. 几何应用(元素法的拓展)

    1. 面积

      1. 贴 \(x\) 轴曲面

        1. 取 \([x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]\)
        2. \(\mathrm{d}A=f(x)\mathrm{d}x\)
        3. \(A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)
      2. 浮空曲边

        1. 取 \([x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]\)
        2. \(\mathrm{d}A=[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x\)
        3. \(A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x\)
      3. 曲边扇形面积(以下内容为弧度制)
        \(L:R=r(\theta)\enspace(\theta\in[\alpha,\beta])\)

        1. 取 \([\theta,\theta+\mathrm{d}\theta]\subset[\alpha,\beta]\)
        2. \(\mathrm{d}A=\frac{1}{2}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta\) (曲边扇形面积公式)
        3. \(A=\int_\alpha^\beta\mathrm{d}A=\int_\alpha^\beta\frac{1}{2}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta\)
    2. 体积

      1. 旋转体的体积

        1. \(V_x\) (绕 \(x\) 轴旋转)

          1. 取 \([x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]\)
          2. \(\mathrm{d}V_x=\pi f^2(x)\mathrm{d}x\)
          3. \(V_x=\pi\int_a^b f^2(x)\mathrm{d}x\)
        2. \(V_y\) (绕 \(y\) 轴旋转)

          1. 取 \([x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]\)
          2. \(\mathrm{d}V_y=2\pi|x|\cdot|f(x)|\cdot\mathrm{d}x\)
          3. \(V_y=2\pi\int_a^b |x|\cdot|f(x)|\mathrm{d}x\)
      2. 截口面积已知求几何体体积
        有关于底面积的函数 \(A(x)\)

        1. 取 \([x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]\)
        2. \(\mathrm{d}V=A(x)\mathrm{d}x\)
        3. \(V=\int_a^b A(x)\mathrm{d}x\)
    3. 弧长

      1. \(L:y=f(x)\enspace(a\leqslant x\leqslant b)\)
        1. 取 \([x,x+\mathrm{d}x]\subset[a,b]\)
        2. \(\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x\)
        3. \(l=\int_a^b\mathrm{d}s\mathrm{d}x=\int_a^b\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\mathrm{d}x\)
      2. \(L:\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}\enspace(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)\)
        1. 取 \([t,t+\mathrm{d}t]\subset[\alpha,\beta]\)
        2. \(\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{[\varphi^\prime(t)]^2+[\psi^\prime(t)]^2}\mathrm{d}t\)
        3. \(l=\int_\alpha^\beta\mathrm{d}s\mathrm{d}t=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\varphi^\prime(x)]^2+[\psi^\prime(x)]^2}\mathrm{d}t\)

微分方程

解微分方程的目的即根据已知微分条件求目标函数

微分方程的基本概念

  1. 微分方程: 含有导数或微分的方程
    常微分方程: 只含一个自变量, 一个函数的微分方程, 如 \(f^\prime(x)+7f(x)=0\)
    这里探讨的范围仅限于常微分方程
  2. 微分方程的阶: 在微分方程中, 导数或微分的最高阶数
  3. 微分方程的解:
    已知 \(y\) 关于 \(x\) 的微分方程 \(F(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y^\prime,y,x)=0\)
    若代入函数 \(y=\varphi(x)\) 能够满足 \(F(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y^\prime,y,x)=0\)
    称 \(y=\varphi(x)\) 为该微分方程的解
    1. 通解: 设 \(n\) 阶微分方程 \(F(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y^\prime,y,x)=0\), 若该方程的解含 \(n\) 个相互独立的任意常数, 称该解为通解
      如 \(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\) 为 \(y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0\) 的通解
    2. 特解: 不含任意常数的解

可分离变量微分方程

  1. 定义: 形如 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi_1(x)\varphi_2(y)\)
  2. 解法
    \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi_1(x)\varphi_2(y)\rArr\frac{\mathrm{d}y}{\varphi_2(y)}=\varphi_1(x)\mathrm{d}x\)
    两边积分:
    \(\int\frac{\mathrm{d}y}{\varphi_2(y)}=\int\varphi_1(x)\mathrm{d}x+C\) (注意微分方程中自变量一端要加 \(C\))

齐次微分方程

  1. 定义: 形如 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(\frac{y}{x})\)
  2. 解法
    换元法, 设 \(u=\frac{y}{x}\), 则 \(y=ux\rArr y^\prime=u^\prime x+ux^\prime\rArr\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\)
    将 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\) 和 \(u=\frac{y}{x}\) 代入方程两边得到 \(x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u=\varphi(u)\)
    然后就可以分离变量, 最后两边积分:
    \(\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}\rArr\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\int\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}+C\)

一阶线性微分方程

  1. 一阶齐次线性方程
    1. 定义: 形如 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0\)
    2. 解法及通解公式
      • 情况1 \(y=0\) 为方程的解

      • 情况2 \(y\neq 0\) 时, 先分离变量, 然后两边积分, 再套用积分公式求解:

        $$ \begin{aligned} \frac{1}{y}\mathrm{d}y=-P(x)\mathrm{d}x & \rArr\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int-P(x)\mathrm{d}x \\ & \rArr\ln|y|=-\int P(x)\mathrm{d}x+C_0 \\ & \rArr|y|=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x+C_0} \\ & \rArr y=\pm e^{C_0}\cdot e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \end{aligned} $$

        通解 \(y=Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\)

  2. 一阶非齐线性微分方程
    1. 定义: 形如 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)\)
    2. 解法
      通过常数易变法, 将上面齐次方程通解中的常数项换成关于 \(x\) 的函数 \(C=u(x)\), 得到 ➀ \(y=u(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\)
      然后对 \(y\) 求导: (这里注意 \(e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\) 是复合函数)
      ➁ \(y^\prime=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u^\prime(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-u(x)P(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\)
      将 ➀、➁ 代入一阶非齐线性微分方程:
      \(u^\prime(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-u(x)P(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+P(x)u(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Q(x)\)
      \(\rArr u^\prime(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Q(x)\)
      \(\rArr u^\prime(x)=Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\)
      \(\rArr\int u^\prime(x)\mathrm{d}x=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\)
      \(\rArr u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\)
      求得的 \(u(x)\) 再次带入通解式得 \(y=[\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\)

可降阶的高阶微分方程

  1. \(y^{(n)}=f(x)\enspace(n\geqslant2)\)
    解法: 直接积分
    \(y^{(n-1)}=\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C\)
    \(y^{(n-2)}=\int(\int(F(x)+C)\mathrm{d}x\)
    \(\dots\)

    例: \(y^{\prime\prime}=x^3+e^{2x}\)
    解:
    \(y^\prime=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}e^{2x}+C_1\)
    \(y=\frac{1}{20}x^5+\frac{1}{4}e^{2x}+C_1x+C_2\)

  2. (缺失 \(y\)) \(f(x,y^\prime,y^{\prime\prime})=0\)
    解法:
    令 \(y^\prime=p\), \(y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\) 代入得
    \(f(x,p,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x})=0\rArr p=\varphi(x,C_1)\), 即 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x,C_1)\)
    \(\therefore y=\int\varphi(x, C_1)\mathrm{d}x+C_2\)

    例: 求 \(xy^{\prime\prime}+2y^\prime=0\) 通解
    解: 令 \(y^\prime=p\), \(y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\), 代入得
    \(x\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}+2p=0\rArr\frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{2\mathrm{d}x}{x}\)
    \(\rArr\int\frac{1}{p}\mathrm{d}p=-2\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x+C_0\)
    \(\rArr\ln|p|=-2\ln|x|+C_0\)
    \(\rArr|p|=e^{-2\ln|x|+C_0}=\frac{e^{C_0}}{x^2}\)
    \(\rArr p=\pm\frac{e^{C_0}}{x^2}=\frac{C_1}{x^2}\), 即 \(y^\prime=\frac{C_1}{x^2}\)
    \(\therefore y=-\frac{C_1}{x}+C_2\)

  3. (缺失 \(x\)) \(f(y,y^\prime,y^{\prime\prime})=0\)
    解法:
    令 \(y^\prime=p\), \(y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\rArr y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p\), 代入得

    $$ \begin{array}{rl} f(y,p,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p)=0 & \rArr p=\varphi(y,C_1) \\ & \hArr\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(y,C_1) \\ & \hArr\frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y,C_1)}=\mathrm{d}x \\ & \rArr\int\frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y,C_1)}=\int\mathrm{d}x+C_2 \end{array} $$

    例: 求 \(yy^{\prime\prime}-y^{\prime 2}=0\) 满足初始条件 \(y(0)=1\), \(y^\prime(0)=1\) 的特解
    解:
    令 \(y^\prime=p\), \(y^{\prime\prime}=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\), 代入得 \(yp\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-p^2=0\)

    $$ \begin{array}{ll} \because p\neq 0 & \\ \therefore y\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-p=0 & \hArr\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-\frac{1}{y}p=0 \\ & \rArr p=C_0e^{-\int-\frac{1}{y}p\mathrm{d}y} (\text{\footnotesize一阶齐次线性微分方程通解})\\ & \hArr p=C_0e^{\ln|y|} \\ & \rArr p=C_1y \\ & \hArr\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=C_1y \\ & \hArr\frac{\mathrm{d}y}{C_1y}=\mathrm{d}x \\ & \rArr\int\frac{\mathrm{d}y}{C_1y}=\int\mathrm{d}x+C_2 \\ & \hArr\ln|C_1y|=x+C_2 \\ & \rArr y=\frac{C_3e^x}{C_1} \\ & \rArr y=C_4e^x \end{array} $$

    \(\because y(0)=1,y^\prime(0)=1\)
    \(\therefore C_4=1\), 特解为 \(y=e^x\)

高阶线性微分方程

  1. 基本概念
    1. 二阶齐次线性微分方程: \(y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=0\)
      二阶非齐线性微分方程: \(y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=c(x)\)

    2. \(n\) 阶齐次线性微分方程: \(y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y^\prime+a_n(x)y=0\)
      \(n\) 阶非齐线性微分方程: \(\footnotesize y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y^\prime+a_n(x)y=f(x)\)

    3. 线性相关和线性无关:
      \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 为两个函数
      若 \(\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}\equiv k\in R\), 称 \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 线性相关,
      若 \(\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}=u(x)\) (两函数的比例与 \(x\) 相关, 不恒为某个常数), 则称线性无关.

      如 \(x^2\) 和 \(\sin x\) 线性无关, \(x^2\) 和 \(3x^2\) 线性相关

  2. 性质
    设 \(\begin{cases} \text{➀ }y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=0 \\ \text{➁ }y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=c(x) \end{cases}\)
    1. 若 \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 为 ➀ 的解, 则 \(y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\) 仍为 ➀ 的解(线性组合)
    2. 若 \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 分别为 ➀, ➁ 的解, 则 \(y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)\) 为 ➁ 的解
    3. 若 \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 为 ➁ 的解, 则 \(y=\varphi_2(x)-\varphi_1(x)\) 为 ➀ 的解

      证明:
      若 \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 为 ➁ 的解
      则有 \(\begin{cases} \varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_1^\prime+b(x)\varphi_1=c(x) \\ \varphi_2^{\prime\prime}+a(x)\varphi_2^\prime+b(x)\varphi_2=c(x) \end{cases}\)
      将 \(y=\varphi_2(x)-\varphi_1(x)\) 代入 ➁:
      \((\varphi_2-\varphi_1)^{\prime\prime}+a(x)(\varphi_2-\varphi_1)^\prime+b(x)(\varphi_2-\varphi_1)\)
      \(=(\varphi_2^{\prime\prime}+a(x)\varphi_2^\prime+b(x)\varphi_2)-(\varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_1^\prime+b(x)\varphi_1)\)
      \(=c(x)-c(x)=0\)
      \(\therefore y=\varphi_2(x)-\varphi_1(x)\) 为 ➀ 的解

    4. 若 \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 为 ➀ 的两个线性无关的特解, \(\varphi_0(x)\) 为 ➁ 的一个特解
      则 ➀ 通解为 \(y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)\);
      ➁ 的通解为 \(y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)+\varphi_0(x)\)
    5. ➂ \(y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=f_1(x)+f_2(x)\)
      ➂’ \(\enspace y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=f_1(x)\)
      ➂’’ \(\enspace y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=f_2(x)\)
      若 \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 分别为 ➂’, ➂’’ 的特解, 则 \(y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)\) 为 ➂ 的特解

      证明:
      若 \(\varphi_1(x)\), \(\varphi_2(x)\) 为 ➂’, ➂’’ 的解
      则有 \(\begin{cases} \varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_1^\prime+b(x)\varphi_1=f_1(x) \\ \varphi_2^{\prime\prime}+a(x)\varphi_2^\prime+b(x)\varphi_2=f_2(x) \end{cases}\)
      将 \(y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)\) 代入 ➂:
      \((\varphi_1+\varphi_2)^{\prime\prime}+a(x)(\varphi_1+\varphi_2)^\prime+b(x)(\varphi_1+\varphi_2)=f(x)\)
      \(\hArr(\varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_1^\prime+b(x)\varphi_1)+(\varphi_1^{\prime\prime}+a(x)\varphi_2^\prime+b(x)\varphi_2)=f(x)\)
      \(\hArr f_1(x)+f_2(x)=f(x)\)
      \(\therefore y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)\) 为 ➂ 的解

常系数齐次线性微分方程

  1. 二阶常系数齐次线性微分方程: \(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\)
    它的特征方程: \(\lambda^2+p\lambda+q=0\) , \(\Delta=b^2-4q\)

    1. \(\Delta>0\), \(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
    2. \(\Delta=0\), \(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}\)
    3. \(\Delta<0\), \(y=e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)]\)

    这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法

  2. 特征方程法解释:
    二阶常系数齐次线性微分方程 \(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\enspace\) (\(p\)、\(q\) 为常数) (⁕)
    猜测: (⁕) 解的形式? \(\begin{cases} e^{\lambda x} \\ \sin(\beta x)\cdot\cos(\beta x) \end{cases}\)
    令 \(y=e^{\lambda x}\) 为 (⁕) 的解, 有
    \(\lambda^2e^{\lambda x}+p\lambda e^{\lambda x}+qe^{\lambda x}=0\rArr\lambda^2+p\lambda+q=0\), 称其为 (⁕) 的特征方程

    • 情况1 \(\Delta=p^2-4q>0\)
      则 \(\lambda^2+p\lambda+q=0\) 有两个不同实根 \(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)
      因此 \(y_1=e^{\lambda_1x}\), \(y_2=e^{\lambda_2x}\) 为 (⁕) 的特解
      \(\because\lambda_1\neq\lambda_2\)
      \(\therefore\frac{y_1}{y_2}=e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}\) 不恒为某个常数, \(y_1\) 与 \(y_2\) 线性无关
      \(\therefore\) (⁕) 的通解为 \(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\) (高阶线性线性微分方程性质 4)
    • 情况2 \(\Delta=p^2-4q=0\)
      则 \(\lambda^2+p\lambda+q=0\) 有两个相等的实根 \(\lambda_1=\lambda_2\)
      \(y_1=e^{\lambda_1x}\) 为 (⁕) 的一个特解, 还要找出与 \(y_1\) 线性无关的另一个特解 \(y_2\)
      (满足 \(\frac{y_2}{y_1}\) 不是恒常数的 \(y_2\))
      令 \(\frac{y_2}{y_1}=u(x)(\neq C)\) 且 \(y_2\) 为 (⁕) 的解, 得到
      \(\begin{cases} y_2=ue^{\lambda_1x} \\ y_2^\prime=u^\prime e^{\lambda_1x}+\lambda_1ue^{\lambda_1x} \\ y_2^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}e^{\lambda_1x}+2\lambda_1u^\prime e^{\lambda_1x}+\lambda_1^2ue^{\lambda_1x} \end{cases}\)
      将以上三式代入 (⁕) 得
      \(u^{\prime\prime}e^{\lambda_1x}+2\lambda_1u^\prime e^{\lambda_1x}+\lambda_1^2ue^{\lambda_1x}+pu^\prime e^{\lambda_1x}+p\lambda_1ue^{\lambda_1x}+que^{\lambda_1x}=0\)
      \(\rArr u^{\prime\prime}+2\lambda_1u^\prime+\lambda_1^2u+pu^\prime+p\lambda_1u+qu=0\)
      \(\rArr u^{\prime\prime}+(2\lambda_1+p)u^\prime+(\lambda_1^2+p\lambda_1+q)u=0\)
      \(\because \begin{cases} \lambda_1^2+p\lambda_1+q=0 \\ \lambda_1+\lambda_2=-p \rArr 2\lambda_1+p=0\enspace\footnotesize(\text{韦达定理} x_1+x_2=-\frac{b}{a}) \end{cases}\)
      \(\therefore u^{\prime\prime}=0\), 取 \(u(x)=C_1x+C_2\)
      \(\therefore y_2=(C_1x+C_2)e^{\lambda_1x}=C_1xe^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_1x}\)
      则通解 \(\footnotesize y=C_0e^{\lambda_1x}+C_1xe^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_1x}=(C_0+C_1x+C_2)e^{\lambda_1x}=(C_3+C_1x)e^{\lambda_1x}\)
    • 情况3 \(\Delta=p^2-4q<0\)
      则 \(\lambda^2+p\lambda+q=0\) 有一对共轭复根 \(\footnotesize\lambda_{1,2}=-\frac{1}{2}p\pm\frac{1}{2}\sqrt{4q-p^2}i=\alpha\pm\beta i\)
      \(y_1=e^{(\alpha+\beta i)x}\) 与 \(y_2=e^{(\alpha-\beta i)x}\) 为 (⁕) 的复值函数形式特解
      为了求出实值函数形式的特解, 将 \(y_1\) 与 \(y_2\) 改写为:
      \(y_1=e^{\alpha x+\beta xi}=e^{\alpha x}\cdot e^{\beta xi}=e^{\alpha x}\cdot\underbrace{[\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)]}_{\text{欧拉公式 }e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}\)
      \(y_2=e^{\alpha x-\beta xi}=e^{\alpha x}\cdot e^{-\beta xi}=e^{\alpha x}\cdot[\cos(\beta x)-i\sin(\beta x)]\)
      取方程的两个特解: (高阶线性线性微分方程性质 1)
      \(Y_1=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{\alpha x}\cos(\beta x)\)
      \(Y_2=\frac{1}{2i}(y_1-y_2)=e^{\alpha x}\sin(\beta x)\)
      \(\because\frac{Y_2}{Y_1}=\tan(\beta x)\)
      \(\therefore\) \(Y_1\) 与 \(Y_2\) 线性无关, (⁕) 的通解为 \(\footnotesize y=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)=e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)]\)
  3. \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程 \(y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}y^\prime+p_ny=0\)
    其特征方程: \(\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+\cdots+p_{n-1}\lambda+p_n=0\)

    特征方程的根 通解中的对应项
    \(k\) 重根 \(\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k\) \(y=C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{\lambda_1x}\)
    \(k\) 重共轭复根 \(\lambda_{1,\cdots,n}=\alpha\pm\beta i\) \(e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{n-1})\cos(\beta x) \\ +(D_0+D_1x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin(\beta x)]\)

    例: \(y^{\prime\prime\prime}+py^{\prime\prime}+qy^\prime+ry=0\), 它的特征方程 \(\lambda^3+p\lambda^2+q\lambda+r=0\)

    1. \(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)、\(\lambda_3\) 为实数且各不相等
      \(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+C_3e^{\lambda_3x}\)
    2. \(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)、\(\lambda_3\) 为实数且 \(\lambda_1=\lambda_2\neq\lambda_3\)
      \(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}+C_3e^{\lambda_3x}\)
    3. \(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)、\(\lambda_3\) 为实数且相等
      \(y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{\lambda_1x}\)
    4. \(\lambda_1\in R\), \(\lambda_{2,3}=\alpha\pm i\beta\)
      \(y=C_1e^{\lambda_1x}+e^{\alpha x}[C_2\cos(\beta x)+C_3\sin(\beta x)]\)

常系数非齐次线性微分方程

  1. 形如 \(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=f(x)\enspace\) (\(p\)、\(q\) 为常数, \(f(x)\) 称为自由项)
    通解思路: (高阶线性微分方程性质 5)
    1. 先求 \(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\) 通解
    2. 找 \(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=f(x)\) 的一个特解 \(y_0(x)\)
      (很困难, 接下来只谈两种使用待定系数法的情况)
    3. 有通解 \(y=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}+y_0(x)\)
  2. 自由项 \(f(x)=P_n(x)e^{kx}\)
    其中 \(P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\)
    令特解为 \(y_0=x^l(ax+b)e^{kx}\) , 其中 \(l\) 为与 \(k\) 的值相等的特征值个数
    • 例1: 求 \(y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=(2x+3)e^x\) 通解
      解:

      1. 特征方程: \(\lambda^2-3\lambda+2=0\rArr\lambda_1=1\), \(\lambda_2=2\)
        \(y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0\) 通解为 \(y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\)

      2. \(k=1=\lambda_1\), 因此令特解 \(y_0(x)=x(ax+b)e^x=(ax^2+bx)e^x\), 有
        \(\begin{array}{rl} y_0^\prime(x) & =(2ax+b)e^x+(ax^2+bx)e^x=(ax^2+2ax+bx+b)e^x \\ y_0^{\prime\prime}(x) & =(2ax+2a+b)e^x+(ax^2+2ax+bx+b)e^x \\ & =(ax^2+4ax+bx+2a+2b)e^x \end{array}\)
        代入原式, 得到:

        $$ \begin{array}{l} \footnotesize(ax^2+4ax+bx+2a+2b)e^x-3(ax^2+2ax+bx+b)e^x+2(ax^2+bx)e^x=(2x+3)e^x \\ \footnotesize\hArr(ax^2+4ax+bx+2a+2b)-3(ax^2+2ax+bx+b)+2(ax^2+bx)=2x+3 \\ \footnotesize\hArr -2ax+2a-b=2x+3 \\ \footnotesize\rArr\begin{cases} -2ax=2x & \hArr a=-1\\ 2a-b=3 & \hArr b=-5 \end{cases} \end{array} $$

        即 \(y_0(x)=-(x^2+5x)e^x\)

      \(\therefore\) 原方程通解为 \(y=C_1e^x+C_2e^{2x}-(x^2+5x)e^x\)

    • 例2: 求 \(y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=(3x+2)e^x\) 通解
      解:

      1. 特征方程 \(\lambda^2-2\lambda+1=0\rArr\lambda_1=\lambda_2=1\)
        \(y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=0\) 通解 \(y=(C_1+C_2x)e^x\)
      2. \(k=1=\lambda_1=\lambda_2\), 因此令特解 \(\footnotesize y_0(x)=x^2(ax+b)e^x=(ax^3+bx^2)e^x\)
        \(y_0^\prime(x)=\cdots\), \(y_0^{\prime\prime}(x)=\cdots\)
        代入原方程解得 \(a=\frac{1}{2}\), \(b=1\)
        即 \(y_0(x)=(\frac{1}{2}x^3+x^2)e^x\)

      \(\therefore\) 原方程通解为 \(y=(C_1+C_2x)e^x+(\frac{1}{2}x^3+x^2)e^x\)

    • 例3: 求 \(y^{\prime\prime}-2y^\prime-3y=6x-1\) 通解
      解:

      1. \(\lambda^2-2\lambda-3=0\rArr\lambda_1=-1\), \(\lambda_2=3\)
        \(y^{\prime\prime}-2y^\prime-3y=0\) 通解为 \(y=C_1e^{-x}+C_2e^3\)
      2. 自由项 \(6x-1\) 可视为 \((6x-1)e^0x\), 即 \(k=0\).
        注意此题中 \(\lambda\) 的值没有与 \(k=0\) 相同的
        因此令特解 \(y_0(x)=ax+b\)
        (余下略)
        \(\dots\)

      \(\dots\)

  3. \(f(x)=e^{\alpha x}\) [\(\text{多项式}\cdot\cos(\beta x)+\text{多项式}\cdot\sin(\beta x)\)]
    令特解为 \(\footnotesize y_0(x)=x^le^{\alpha x}[a\cdot\cos(\beta x)+b\cdot\sin(\beta x)]\enspace\) (\(a\)、\(b\) 根据多项式内容决定, \(l\) 的值为与 \(\alpha+i\beta\) 的值相等的特征值个数)
    注: \(\alpha\)、\(\beta\) 的值已经在方程中给出, 因此解对应非齐次方程通解可以直接用
    • 例1: 求 \(y^{\prime\prime}+4y=3\cos 2x\) 通解
      解:

      1. \(\lambda^2+4=0\rArr\lambda_{1,2}=\pm 2i\)
        \(y^{\prime\prime}+4y=0\) 通解为 \(y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x\)
      2. \(\alpha=0\), \(\beta=2\rArr\alpha+i\beta=2i=\lambda_1\)
        因此令特解 \(y_0(x)=x(a\cos 2x+b\sin 2x)\enspace\) (\(\cos\) 和 \(\sin\) 都不能少哦)
        (余下略)
        \(\dots\)

      \(\dots\)

    • 例2: \(y^{\prime\prime}-2y^\prime+2y=(x+1)e^x\cos x\)
      解:

      1. \(\lambda^2-2\lambda+2=0\rArr\lambda_{1,2}=1\pm i\)
        \(y^{\prime\prime}-2y^\prime+2y=0\) 通解为 \(y=e^x(\cos x+\sin x)\)
      2. \(\alpha=1\), \(\beta=1\rArr\alpha+i\beta=1+i=\lambda_1\)
        因此令特解 \(y_0(x)=xe^x[(ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x]\)
        (余下略, 解出 \(a,b,c,d\), 最后得出通解)
        \(\dots\)

      \(\dots\)

Author

Ndoskrnl

Posted on

2021-01-19

Updated on

2021-12-05

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