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高中数学的内容
省略了不重要的东西(比如集合、函数奇偶性, 弧度制(曲边三角形)等一些谁都懂的概念)
基于 基础版数学笔记

常见集合 自然数: \(N\) , 正整数 \(N^+\) , 整数 \(Z\) , 有理数 \(Q\) , 非零有理数 \(Q^*\), 实数 \(R\) , 复数 \(C\)

函数

基本初等函数

  1. 指数函数 (Exponential function)
    形如: \(y=a^x\enspace\) (\(a>0\) 且 \(a\neq 1\))
    性质:

    • 指数函数恒过定点 (0, 1)
    • \(\begin{cases} 0 < a < 1 & \text{为减函数} \\ a > 1 & \text{为增函数} \end{cases}\)

    注意: 比较两个数(带有次数)可利用 \(a^0=1\) 的特殊性
    例: \(1.7^{0.3}\) , \(0.9^{3.1}\)
    \(\because 1.7^{0.3}>1.7^0=1, 0.9^{3.1} < 0.9^0 = 1 \\ \therefore 1.7^{0.3} > 0.9^{3.1}\)

  2. 对数函数 (Logarithmic function)
    形如 \(y=\log_ax\enspace\) (\(a > 0\) , 且 \(a\neq 1\))
    其中 \(y\) 叫做以 \(a\) 为底的对数, \(x\) 叫做真数
    性质:

    • 对数函数横过定点 (1, 0)
    • 对数函数公式: (\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\) , \(M > 0\) , \(N > 0\)) TODO: 补充这些公式的证明过程
      \(a^{\log_ab}=b\)
      \(\log_ab\cdot\log_ba=1\)
      \(log_{a^n}b^n=\log_ab\)
      \(\log_a(M\cdot N)=\log_aM+\log_aN\)
      \(\log_a(\frac M N)=\log_aM-\log_aN\)
      \(\log_aM^n=n\log_aM\enspace\) (\(n\in R\))
      \(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\enspace\) (\(c > 0\) 且 \(c\neq 1\)) (换底公式, 是重点)
      \(\log_{a^N}b^M=\frac{M}{N}\log_ab\)
    • \(\begin{cases} 0 < a < 1 & \text{为减函数} \\ a > 1 & \text{为增函数} \end{cases}\)
  3. 反函数: 关于直线 \(y=x\) 对称的两个函数
    求一个函数的反函数, 将该函数的 \(y\) 和 \(x\) 互换并整理
    反函数的定义域为原函数的值域, 反函数的值域为原函数的定义域.

    对数函数 \(y=\log_ax\enspace\) (\(a>0\) 且 \(a\neq 1\))
    和指数函数 \(y=a^x\enspace\) (\(a>0\) 且 \(a\neq 1\))
    互为反函数

  4. 幂函数 (Power function)
    幂函数: \(y=x^a\enspace\) (\(a\) 为常数)
    (一般只讨论 \(a=1,2,3,4,\frac{1}{2},-1\) 时的情形)
    性质:

    • 在第一象限内:
      当 \(a>0\) 时, 单调增
      当 \(a<0\) 时, 单调减
  5. 函数单调性判断, 取 \(x_1<x_2\) , 判断 \(f(x_2)-f(x_1)\) 符号, 大于零为增函数, 小于零为减函数; 也可通过求导判断

  6. 函数对称性:
    \(f(x)\) 关于直线 \(x=a\) 对称, 则 \(f(x)=f(2a-x)\)
    \(f(x)\) 关于点 \((a,b)\) 对称, 则 \(f(x)+f(2a-x)=2b\)

函数与方程

  1. 二次函数 (Quadratic function)
    形如 \(y=ax^2+bx+c\enspace\) (\(a \neq 0\))
    性质:
    • 顶点坐标: \((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)
    • 方程根: \((\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, 0)和(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, 0)\)
    • \(\Delta=b^2-4ac\)
      若 \(\Delta>0\) , 函数与 \(x\) 轴交于两点
      若 \(\Delta=0\) , 函数与 \(x\) 轴交于一点
      若 \(\Delta<0\) , 函数与 \(x\) 轴无公共点
  2. 零点: \(f(x)=0\) 的时候 \(x\) 的值
  3. 二分法 (Dichotomy)
    对于区间 \([a,b]\) 上连续不断且 \(f(a)\cdot f(b)<0\) 的函数 \(y=f(x)\) ,
    通过不断地把函数 \(f(x)\) 的零点所在的区间一分为二,
    使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫二分法
  4. 零点存在性质定理:
    若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续不断, 且 \(f(x)\cdot f(b)<0\) , 则在区间 \([a,b]\) 存在变号零点
  5. 零点与方程根的关系 (Realtionship between zero point and equation root)
    函数 \(y=f(x)\) 有零点说明方程 \(f(x)=0\) 有实数根(几何意义为函数 \(y=f(x)\) 的图象与 \(x\) 轴有交点)

三角函数

  1. 诱导公式 (Induction formula)
    “奇变偶不变, 符号看象限”
    • \(\begin{cases} \sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha & (k\in Z) \\ \cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha & (k\in Z) \\ \tan(2k\pi+\alpha)=\tan\alpha & (k\in Z) \end{cases}\)
    • \(\begin{cases} \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha \\ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha \\ \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha \end{cases}\)
    • \(\begin{cases} \sin(-\alpha)=-\sin\alpha \\ \cos(-\alpha)=\cos\alpha \\ \tan(-\alpha)=-\tan\alpha \end{cases}\)
    • \(\begin{cases} \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha \\ \cos(\pi-\alpha) =-\cos\alpha \\ \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha \end{cases}\)
    • \(\begin{cases} \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha \\ \tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot\alpha \end{cases}\)
    • \(\begin{cases} \sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha \\ \tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\cot\alpha \end{cases}\)
  2. 周期性和单调性 (Periodic and monotonic)
    周期函数: 对于函数 \(f(x)\), 如果 \(\exist T\enspace\) (\(T\neq 0\)), 使得 \(\forall x\in\) 定义域, 都有 \(f(x+T)=f(x)\) , 那么函数 \(f(x)\) 就是一个周期函数
    最小正周期: \(f(x)\) 的所有周期长度(\(T,2T,3T,\dots\)) 中的最小正数 \(T\) 叫做函数 \(f(x)\) 的最小正周期
  3. 简谐运动 (Simple harmonic motion)
    形如 \(y=A\sin(wx+\varphi)+k\) 的函数
    (画这类函数的图像可用五点法)
    \(A\) 为这个简谐运动的振幅(影响函数的值域), \(k\) 为基准(影响函数初始高度)
    (\(w\) 影响函数的周期长度)这个简谐运动的周期为 \(T=\frac{2\pi}{w}\) , 所以频率 \(f=\frac{1}{T}=\frac{w}{2\pi}\)
    \(wx+\varphi\) 称为相位, \(x=0\) 时的相位 \(\varphi\) 称为初相(影响函数左右平移)
    性质
    • \(A=\frac{y(\text{max}-\text{min})}{2}\) (函数值域长度的一半就是波动的幅度)
      \(k=\frac{y(\text{max}+\text{min})}{2}\) (函数值域的中点就是基准点)
  4. 同角三角函数基本关系式
    平方关系: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
    商关系: \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha\enspace\) (\(\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\) , \(k \in Z\))
  5. 三角恒等变换
    和差角公式:
    \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
    \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
    \(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}\)
    二倍角公式:
    \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
    \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)
    辅助角公式:
    \(a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)\)
    \(\tan\varphi=\frac{b}{a}\) , \(\varphi\) 为辅助角
  6. 解三角形
    正弦定理: \(2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
    正弦定理推论: \(2R=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}\) , \((\frac{a}{\sin A})^2=\frac{bc}{\sin B\sin C}\) , \((\frac{a}{\sin A})^3=\frac{abc}{\sin A\sin B\sin C}\)
    余弦定理: \(\begin{cases} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \end{cases}\)
    余弦定理推论: \(\cos{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) , \(\cos{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\) , \(\cos{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)
    三角形面积公式: \(S_\triangle=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C\)
    解三角形记得判断求出的该角能否为钝(锐)角 (大角对大边, 小角对小边)

导数及其应用

  1. 导数的概念及其几何意义
    平均变化率: 函数 \(y=f(x)\) 从 \(x_1\) 到 \(x_2\) 的平均变化率为 \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{\vartriangle{y}}{\vartriangle{x}}\)
    瞬时变化率: 函数 \(y=f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处的瞬时变化率是 \(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
    几何意义: 导数是函数曲线随 \(x\) 轴变化的速度

  2. 导数的计算
    导数公式:

    1. \((c)^\prime=0\enspace\) (\(c\) 为常数)
    2. \((x^a)^\prime=ax^{a-1}\enspace\) (\(a\in Q^*\))
    3. \((\sin x)^\prime=\cos x\)
    4. \((\cos x)^\prime=-\sin x\)
    5. \((a^x)^\prime=a^x\ln a\)
    6. \((\log_a x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}=\frac{1}{x}\log_a e\)
    7. \((e^x)^\prime=e^x\)
    8. \(\ln x=\frac{1}{x}\)

    导数运算法则:
    \([f(x)\pm g(x)]^\prime=f^\prime(x)\pm g^\prime(x)\)
    \([f(x)g(x)]^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)\)
    \([\frac{f(x)}{g(x)}]^\prime=\frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{[g(x)]^2}\enspace\) (\(g(x)\neq 0\))
    复合函数: 对于两个函数 \(y=f(u)\) 和 \(u=g(x)\) . 如果通过变量 \(u\)、\(y\)可以表示成一个关于 \(x\) 的函数, 那么称这个函数 \(f(g(x))\) 为 \(y=f(u)\) 和 \(u=g(x)\) 的复合函数. 记作\(y=f(g(x))\)
    复合函数求导: \(f^\prime(g(x))=f^\prime(u)\cdot g^\prime(x)\)

  3. 导数在研究函数中的作用

    • 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
      存在函数 \(y=f(x)\) , 在某个区间 \((a,b)\) 内,
      如果 \(f^\prime(x)>0\) , 则该函数在这个区间内单调递增
      如果 \(f^\prime(x)<0\) , 则该函数在这个区间内单调递减
    • 利用导数找函数极值点和极值:
      首先得 \(\exist f^\prime(a)=0\)
      极小值点: 若在点 \(x=a\) 附近, 左侧 \(f^\prime(x)<0\) , 右侧 \(f^\prime(x)>0\) . 则点 \(a\) 叫做函数的极小值点
      极大值点: 若在点 \(x=a\) 附近, 左侧 \(f^\prime(x)>0\) , 右侧 \(f^\prime(x)<0\) . 则点 \(a\) 叫做函数的极大值点

    求函数 \(y=f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 的最大值与最小值的步骤如下

    1. 求函数 \(y=f(x)\) 在 \((a,b)\) 内的极值
    2. 将求到的各极值连同端点处的函数值 \(f(a)\)、\(f(b)\) 比较. 其中最大的是最大值; 最小的是最小值
  4. 定积分与微积分基本定理

    1. 微分
      先来看看微分的概念 \(\mathrm{d}x=\lim\limits_{\varDelta x\to 0}\varDelta x\)
      结合导数的定义, 有 \(f^\prime(x)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\rArr\mathrm{d}y=f^\prime(x)\mathrm{d}x\)
      关于微分的公式:
      1. \(\mathrm{d}f(x)=f^\prime(x)\mathrm{d}x\)
      2. \(\mathrm{d}(ax+b)=a\mathrm{d}x\)
    2. 定积分
      定积分四部曲: 分割->近似代替->求和->取极限
      定积分概念:
      \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n\textstyle\frac{b-a}{n}f(\xi_i)\)
      \(a\) 与 \(b\) 分别叫做积分下限和积分上限, 组成的区间 \([a,b]\) 叫做积分区间
      函数 \(f(x)\) 叫做被积函数, \(x\) 叫做积分变量, \(f(x)\mathrm{d}x\) 叫做被积式
      上式中 \(\mathrm{d}x\) 与 \(\frac{b-a}{n}\) 对应, 几何意义为被无穷分割的区间 \([a,b]\) 中的一小段, \(\xi_i\) 表示这一小段对应的位置
      定积分性质:
      1. (线性性质)
        \(\int_a^b kf(x)\mathrm{d}x=k\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\)
        \(\int_a^b[f_1(x)\pm f_2(x)]\mathrm{d}x=\int_a^b f_1(x)\mathrm{d}x\pm\int_a^b f_2(x)\mathrm{d}x\)
      2. (积分区间的可加性) \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{d}x\enspace\) (\(a<c<b\))
      3. \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x\)
      4. 函数值大于等于零时, 积分大于零; 函数值小于等于零时, 积分小于零
        \(f(x)\geqslant 0\rArr\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0\) , \(f(x)\leqslant 0\rArr\int_a^b f(x)\mathrm{d}x<0\)
      5. 若 \(f(x)\) 是奇函数, 则 \(\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x=0\) (奇函数沿原点对称, 正好抵消)
        若 \(f(x)\) 是偶函数, 则 \(\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\mathrm{d}x\) (偶函数沿 \(y\) 轴对称)
    3. 微积分基本定理
      一般地, 如果 \(f(x)\) 是区间 \([a, b]\) 上的连续函数. 并且 \(\exist F^\prime(x)=f(x)\), 那么
      \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b=[F(x)+c]|_a^b\)
      这个结论叫做微积分基本定理, 也称牛顿⋅莱布尼茨公式.

数列

  1. 等差数列 (Arithmetic progression)
    通项公式: \(a_n=a_1+(n-1)d\)
    前 \(n\) 项和: \(S_n=na_1+\frac{(n-1)n}{2}d=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\)
    性质:

    1. 设等差数列 \(A,B,C\) , 若 \(B\) 为等差中项, 则有 \(B=\frac{A+C}{2}\)
    2. \(m+n=p+q\rArr a_m+a_n=a_p+a_q\enspace\) (\(m,n,p,q\in N^+\))
    3. 数列的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 和 \(a_n\) 的关系
      \(a_n=\begin{cases} S_1 & n=1 \\ S_n-S_{n-1} & n\geqslant 2 \end{cases}\)
    4. 等差数列前 \(n\) 项和性质: 等差数列 \(\{a_n\}\) 中, 连续的 \(n\) 项之和构成的数列(\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},S_{4n}-S_{3n},\dots\))构成等差为 \(n^d\) 的等差数列
  2. 等比数列 (Geometric progression)
    通项公式: \(a_n=a_1q^{n-1}\)
    前 \(n\) 项和: \(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}\enspace\) (\(q\neq 1\))
    性质:

    1. 设等比数列 \(A,B,C\) , 若 \(B\) 为等比中项, 则有 \(B^2=AC\)
    2. \(k+l=m+n\rArr a_k\cdot a_l=a_m\cdot a_n\enspace\) (\(k,l,m,n\in N^+\))
    3. 若 \(\{a_n\} , \{b_n\}\) 是项数相同的等比数列, 且公比分别是 \(p\) 和 \(q\)

      \(\{\lambda a_n\}\) 的公比为 \(p\) , \(\{\frac{1}{a_n}\}\) 的公比为 \(\frac{1}{p}\)
      \(\{a_n^2\}\) 的公比为 \(p^2\) , \(\{a_nb_n\}\) 的公比为 \(pq\)
      \(\{\frac{a_n}{b_n}\}\) 的公比为 \(\frac{p}{q}\)
    4. 等比数列前 \(n\) 项和性质: 在公比不等于 \(-1\) 的等比数列 \(\{a_n\}\) 中, 连续的 \(n\) 项之和构成的数列(\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},S_{4n}-S_{3n},\dots\))构成公比为 \(q^n\) 的等比数列
    5. 在等比数列中, 当项数为偶数时, 比时有 \(\dfrac{S_偶}{S_奇}=q\) (全部偶数项除以全部奇数项)
  3. 其他
    求数列(非等差和等比数列)的前 \(n\) 项和一般采用错位相减法和裂项相消法. 同时还有分组求和, 并项求和, 倒序相加求和
    并项求和: 如 \(S=-1+2-3+4-5+6+(-1)^n\)

    1. 当 \(n\) 为偶 \(S_n=\frac{n}{2}\)
    2. 当 \(n\) 为奇 \(S_n=S_{n-1}-n=\frac{n-1}{2}-n\)

    裂项求和公式:
    \(\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})\) (基本裂项式)
    \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
    \(\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\)
    \(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})\)
    \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{1}{a-b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})\)

复数

  1. 复数的概念
    \(复数域\begin{cases} 实数 \begin{cases} 有理数 \\ 无理数 \end{cases} \\ 虚数 \begin{cases} 纯虚数 \\ 非纯虚数 \end{cases} \end{cases}\)

    形如 \(a+bi\enspace\) (\(a,b\in R\)) 的数叫做复数, \(i\) 叫做复数单位
    当 \(a=0\) 且 \(b\neq0\) 时. 叫做纯虚数.

    虚数 \(i\) 的周期性(虚数的周期为 4):
    \(i^{4n+1}=i\)
    \(i^{4n+2}=-1\)
    \(i^{4n+3}=-i\)
    \(i^{4n}=1\)

    共轭复数: 一般地, 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数互为共轭复数(虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数)

  2. 复数的四则运算
    复数的乘法运算 \((a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
    复数的除法运算 \((a+bi)\div(c+di)=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2-d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-d^2}i\)

  3. 复数的模: 设复数 \(Z=a+bi\enspace\) (\(a,b\in R\)) 对应复平面上的点 \(Z\) , 则\(Z\) 的模 \(|Z|=|\vec{OZ}|=\sqrt{a^2+b^2}\) (即点 \(Z(a, b)\) 到原点的距离)

逻辑

  1. 常用逻辑用语
    1. 命题及其关系
      四种命题:

      1. 原命题: 若 \(a\) , 则 \(b\)
      2. 逆命题: 若 \(b\) , 则 \(a\)
      3. 否命题: 若非 \(a\) , 则非 \(b\)
      4. 逆否命题: 若非 \(b\) , 则非 \(a\)

      原命题和逆否命题同真同假, 否命题和逆命题同真同假
      命题关系: 互逆, 互否, 互为逆否

      充分条件: 若 \(p\) 能推出 \(q\), 则 \(p\) 是 \(q\) 的充分但不必要条件; 表达式 \(p\rArr q\) , 且 \(p\nLeftarrow p\)
      必要条件: 若 \(q\) 的结果必定有 \(p\) , 则 \(p\) 是 \(q\) 的必要但不充分条件; 表达式 \(p\lArr q\) , 且 \(p\nRightarrow p\)

    2. 逻辑连结词或\且\非

      1. 或: 符号 \(p \lor q\) , \(p\) 或 \(q\) 其中任意一个成立, 结果为真
      2. 且: 符号 \(p \land q\) , \(p\) 和 \(q\) 全部成立, 结果才为真
      3. 非: 符号 \(\lnot p\), 若 \(p\) 不成立, 结果为真
    3. 全称量词与存在量词
      全称量词: 符号 \(\forall\) . 如 \(\forall x\in M\) , \(f(x)\) 表示"对于函数的任意值(都满足某种条件)"
      存在量词: 符号 \(\exist\) . 如 \(\exist x\in M\) , \(f(x)\) 表示"函数存在某个值(满足某种条件)"

  2. 推理与证明
    1. 合情推理与演绎推理
      • 合情推理(结论不一定可靠)

        • 归纳推理: 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理 (部分到整体, 个别到一致)
        • 类比推理: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理(特殊到特殊)
      • 演绎推理

        • 从一般到特殊
        • 在大, 小前提及推理形式都正确的情况下, 结论必正确

        "三段论"是演绎推理的一般模式, 包括

        1. 大前提(已知的一般原理)
        2. 小前提(所研究的特殊情况)
        3. 结论(根据一般原理, 对特殊情况做出的判断)

        例子:

        1
        2
        3
        大前提: M是P
        小前提: S是M
        结论: S是P
    2. 直接证明与间接证明
      • 直接证明
        1. 综合法
          利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立.
          特点: 由因导果(顺推)

          用 \(P\) 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等, \(Q\) 表示所要证明的结论:
          \(P\rArr Q_1\rarr Q_1\rArr Q_2\rarr Q_2\rArr Q_3\rarr\dots\rarr Q_n\rArr Q\)

        2. 分析法
          从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止.
          特点: 由果导因(逆推)
          用 \(Q\) 表示要证明的结论:
          \(Q\lArr P_1\rarr P_1\lArr P_2\rarr P_2\lArr P_3\rarr\dots\rarr\) [一个明显成立的条件]

      • 间接证明
        1. 反证法
          假设原命题不成立(即在原命题条件下, 结论不成立), 经过正确的推理, 最后得出矛盾. 因此说明假设错误, 从而证明了原命题成立.
          三个步骤: 反设->归谬->存真
  3. 数学归纳法
    用于证明一个与正整数 \(n\) 有关的命题
    1. (归纳奠基)证明当 \(n\) 取第一个值 \(n_0\enspace\) (\(n_0\in N^+\)) 时命题成立
    2. (归纳递推)假设 \(n=k\enspace\) (\(k\geqslant n_0\) , \(k\in N^+\)) 时命题成立. 证明当 \(n=k+1\) 时命题也成立

算法初步

  1. 辗转相除法(求最大公约数)
    例: 求 8251 与 6105 的最大公约数
    \(8251=6105\times 1+2146\) (6105 与 2146 的公约数也是 8251 与 6105 的公约数)
    \(6105=2146\times 2+1813\)
    \(2146=1813\times 1+333\)
    \(1813=333\times 5+148\)
    \(333=148\times 2+37\)
    \(148=37\times 4\)
    \(\therefore\) 37 是 148 与 37 的最大公约数, 也是 8251 与 6105 的最大公约数

  2. 更相减损术(求最大公约数)
    方法:

    1. 任意给定两个正整数, 判断它们是否都是偶数. 若是, 用 2 约简; 若不是, 执行第二步
    2. 以较大的数减去较小的数, 接着把所得的差与较小的数比较, 并以大数减小数.
      继续这个操作, 直到所得的数相等为止.

    例: 求 98 与 63 的最大公约数
    因为 63 不是偶数, 执行第二步
    \(98-63=35\)
    \(63-35=28\)
    \(35-28=7\)
    \(28-7=21\)
    \(21-7=14\)
    \(14-7=7\)
    \(\therefore\) 98 和 63 的最大公约数为 7

  3. 秦九韶算法
    把 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) 改写成如下形式
    \(\begin{aligned} f(x) & =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \\ & =(a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\dots+a_1)x+a_0 \\ & =((a_nx^{n-2}+a_{n-1}x^{n-3}+\dots+a_2)x+a_1)x+a_0 \\ & =\dots \\ & =(\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots+a_1)x+a_0 \end{aligned}\)
    求多项式的值时, 首先计算内层内一次多项式的值
    \(v_1=a_nx+a_{n-1}\)
    \(v_2=v_1x+a_{n-2}\)
    \(v_3=v_2x+a_{n-3}\)
    \(\dots\)
    \(v_n=v_{n-1}x+a_0\)
    \(v_n\) 即为该式的值, 这种算法可以减少大量的幂计算

  4. 进位制: 约定满二进一, 就是二进制.
    二转十通过按位权展开
    十转二通过除二取余法

不等式

  1. 分式不等式解法
    \(\frac{f(x)}{g(x)}>0(\text{或}<0)\hArr f(x)\cdot g(x)>0(\text{或}<0)\)
    \(\frac{f(x)}{g(x)}\geqslant 0(\text{或}\leqslant 0)\hArr\begin{cases} g(x)\neq 0 \\ f(x)\cdot g(x)\geqslant 0(\text{或}\leqslant 0) \end{cases}\)

  2. 二元一次不等式与简单线性规划

    • 二元一次不等式表示平面区域
      一般地, 直线 \(y=kx+b\) 把平面分成两个部分

      • \(y>kx+b\) 表示直线上方的平面区域;
      • \(y<kx+b\) 表示直线下方的平面区域
    • 线性规划
      把要求最值的函数称为目标函数
      在线性约束条件下求线性目标函数的最值统称为线性规划(即给出一堆限定范围的不等式让你在范围内找出最值)
      使目标函数取得最值的可行解叫作这个问题的最优解.

      “选点法”: 任选一个不在直线上的点. 若满足不等式, 则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域; 否则, 直线另一侧为不等式表示的平面区域 (若直线不过原点, 通常选择原点带入)

    • 简单的线性规划问题
      解题思路:

      1. 根据题目列出约束条件 (那一堆不等式)
      2. 作出目标函数
      3. 画出可行域图 (画出约束条件对应的直线, 然后确定每条线规划的平面区域, 它们的重合部分即是满足所有线性要求的区域)
      4. 一般来说目标函数的最值在该区域的顶点或边界上取到
  3. 基本不等式

    • 定理:

      1. 若 \(a,b\in R\) , 则有 \(a^2+b^2\geqslant 2ab\hArr\frac{a^2+b^2}{2}\geqslant ab\)
        (当且仅当 \(a=b\) 时等号成立)
      2. 若 \(a,b>0\) , 则有 \(a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\hArr\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)
        (当且仅当 \(a=b\) 时等号成立)
      3. 若 \(a,b,c\in R\) , 则有 \(\frac{a+b+c}{3}\geqslant\sqrt[3]{abc}\)
        (当且仅当 \(a=b\) 时等号成立)
    • 推论:
      若 \(a,b>0\) , 则有 \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geqslant\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\geqslant\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}(=\frac{2ab}{a+b})\)

    • 基本不等式应用: “一正, 二定, 三相等”

      1. 一正 (\(a,b\geqslant 0\))
      2. 二定 (\(\sqrt{ab}\) 定, \(\frac{a+b}{2}\) 有最小值; 反之若 \(\frac{a+b}{2}\) 定, \(\sqrt{ab}\) 有最大值)
      3. 三相等 (即 \(a=b\))

    不等式大题一般在导数题第二问求恒成立
    常用方法: TODO: 补充解法

    1. 分离参数法
    2. 变换主元法(已知参数的范围求因变量的范围)
  4. 不等式选讲

    1. 绝对值不等式
      绝对值不等式解法: (\(c>0\))
      \(|ax+b|\leqslant c\hArr -c\leqslant ax+b\leqslant c\)
      \(|ax+b|\geqslant c\hArr ax+b\leqslant -c\) 或 \(ax+b\geqslant c\)

      三角不等式: \(||a|-|b||\leqslant|a\pm b|\leqslant|a|+|b|\)

    2. 柯西不等式

      1. 代数形式: 设 \(a,b,c\in R\) , 则 \((a^2+b^2)(c^2+d^2)\geqslant(ac+bd)^2\enspace\) (当且仅当 \(ad=bc\) 时等号成立)
      2. 向量形式: 设 \(\alpha\)、\(\beta\) 为平面上的两个向量, 则 \(|\alpha|\cdot|\beta|\geqslant|\alpha\cdot\beta|\enspace\) (当且仅当 \(\alpha\)、\(\beta\) 共线时等号成立)
      3. 三角形不等式: 设 \(x_1,y_2;x_2,y_2;x_3,y_3\in R\) , 则
        \(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}+\sqrt{(x_2-x_3)^2-(y_2-y_3)^2}\geqslant\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}\)
        (几何意义为两边之长大于第三边)
      4. 柯西不等式可推广为如下一般形式:
        设 \(n\) 为大于 \(1\) 的自然数, \(a_i\)、\(b_i\enspace\) (\(i=1,2,\dots,n\)) 为实数, 则
        \(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2\)
        \(\displaystyle\hArr\sum_{i=1}^n a_i^2\cdot\sum_{i=1}^n b_i^2\geqslant(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2\)
    3. 排序不等式 TODO: 向量递归法
      设两组实数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 与 \(b_1,b_2,\dots,b_n\) , 其中 \(a_1\leqslant a_2\leqslant\dots\leqslant a_n\) , \(b_1\leqslant b_2\leqslant\dots\leqslant b_n\)
      设 \(c_1,c_2,\dots,c_n\) 为 \(b_1,b_2,\dots,b_n\) 的任意一个排列,
      则和数 \(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n\) 在 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 与 \(b_1,b_2,\dots,b_n\) 同序时最大, 反序时最小
      即 \(a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n\geqslant a_1c_1+a_2c_2+\dots+a_nc_n\geqslant a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots+a_nb_1\)
      (当且仅当 \(a_1=a_2=\dots=a_n\) 或 \(b_1=b_2=\dots=b_n\) 时等号成立)

    4. 伯努利不等式
      有 \(x>-1\)
      当 \(n\geqslant 1\) , 则 \((1+x)^n\geqslant 1+nx\)
      当 \(0\leqslant n\leqslant 1\) , 则 \((1+x)^n\leqslant 1+nx\)
      当且仅当 \(n=0,1\) 或 \(x=0\) 时等号成立

    5. 用数学归纳法证明伯努利不等式:
      (只考虑 \(n\geqslant 1\) 的情况)

      1. 当 \(n=1\) 时, 代入得 \(1+x\geqslant 1+x\) 显然成立
      2. 假设 \(n=k\) 时 \((1+x)^k\geqslant 1+kx\) 成立,
        那么当 \(n=k+1\) 时, 有假设 \((1+x)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)x\)
        将 \((1+x)^k\geqslant 1+kx\) 两边乘以 \((1+x)\) 得到 \((1+x)^k(1+x)\geqslant(1+kx)(1+x)\)
        可化为 \((1+x)^{k+1}\geqslant kx^2 + 1 + (k+1)x\)
        显然 \(kx^2 + 1 + (k+1)x\geqslant 1 + (k+1)x\)
        所以假设 \((1+x)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)x\) 成立
    6. 平均值不等式
      基本不等式可推广到 \(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geqslant\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}\)
      (当且仅当 \(a_1=a_2=\dots=a_n\) 时等号成立)
      \(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\) 称为算术平均数
      \(\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}\) 称为几何平均数

  5. 证明不等式的基本方法

    1. 比较法
      比较法分比差法和比商法,
      比差法利用基本事实 \(a-b>0\hArr a>b\)
      比商法利用基本事实 \(\frac{a}{b}>1\hArr a>b\enspace\) (\(a,b>0\))
    2. 综合法
      从已知条件出发, 利用不等式的有关性质或定理, 经过推理论证, 最终推导出所要证明的不等式成立.
    3. 分析法
      从待证不等式出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).
    4. 反证法
      运用反证法证明不等式, 主要有以下两个步骤:
      1. 作出与所证不等式相反的假设;
      2. 从条件和假设出发, 应用正确的推理方法, 推出矛盾的结论, 否定假设, 从而证明原不等式成立
    5. 放缩法
      在证明不等式时, 有时要把所证不等式的一边适当放大或缩小以利于化简, 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显, 从而得出原不等式成立. 这种方法称为放缩法.
      证明 \(A<B\) , 放大 \(A\) , 有 \(A\leqslant C\) , 使得容易证明 \(C<B\)
      或缩小 \(B\) , 有 \(B\geqslant C\) , 使得容易证明 \(C>A\)

统计与概率

统计

  1. 随机抽样
    1. 简单随机抽样: 设一个总体含有N个个体, 从中逐个不放回地抽取n个个体为样本, 如果每次抽取时总体上各个个体被抽到的机会相等. 就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
      常用的简单随机抽样法有两种: 抽签法和随机数法
      抽签法: 把总体中的N个个体编号, 把号码写在号签上, 将号签放在一个不透明容器中, 搅拌均匀后, 每次从中抽取一个号签. 连续抽取n次, 就得到一个容量为n的样本.
    2. 分层抽样: 在抽样时, 将总体分成互不相交的层, 然后按照一定的比例, 从各层独立地抽取一定数量的个体, 将各层取出的个体合在一起作为样本, 这种抽样方法称为分层抽样.
    3. 系统抽样: 又叫做等距抽样法. 先分段(分组), 起始段用简单随机抽样再在各段相同位置取得样本.
      极差: 一组数据最大值与最小值
      组数: \(\frac{极差}{组距}\)
  2. 样本分析
    • 频率分布直方图(以面积的形式反映数据落在各小组的频率情况)
      小矩形的面积 \(=\) 组距 \(\times\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=\) 频率
      频率分布直方图中, 各小矩形面积之和等于 \(1\)
      众数: 最高的矩形底边中点的横坐标
      中位数: 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
      平均数: 每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
    • 频率分布折线图: 将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点连结起来, 就成了频率分布折线图
      总体密度曲线: 随着样本容量的增加, 作图时所分的组数增加, 组距减小, 相应的频率折线图会越来越接近一条光滑的曲线, 统计中称这条光滑的曲线为总体密度曲线
    • 茎叶图: 不仅能够保留原始数据, 而且能够展示数据的分布情况
      “茎”: 中间的一列数, 从上到下由小到大, 一般用于存放数据中高位上的数
      “叶”: 两边分别记录两个组的数据, 由外到内数越来越小, 一般用于存放数据中低位上的数
    • 标准差 \(S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\enspace\) (\(n\) 为样本中数据个数)
      方差 \(=S^2\)
  3. 计数原理
    1. 分类加法和分布乘法计数
      • 分类加法计数原理: 完成一件事可以有两类不同的方法, 方案一有 \(m\) 种不同的方法; 方案二有 \(n\) 种不同的方法. 那么完成这件事有 \(N=m+n\) 种不同方法.
      • 分步乘法计数原理: 完成一件事需要两个步骤, 做第一步有 \(m\) 种不同的方法, 做第二步有 \(n\) 种不同的方法. 那么完成这件事有 \(N=mn\) 种不同方法.
    2. 排列与组合
      1. 排列: 从\(n\) 个不同元素中取出 \(m\enspace\) (\(m\leqslant n\)) , 按照一定的顺序排成一列 (存在互异性、有序性)
        排列数: \(A_n^m=n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\enspace\) (\(m\leqslant n\) ; \(m,n\in N^+\))
        将 \(n\) 个不同元素全部取出的一个排列, 记作 \(A_n^n=n!\enspace\) (规定 \(0! = 1\))
      2. 组合: 从 \(n\) 个不同的元素中取出 \(m\enspace\) (\(m\leqslant n\)) 个元素合成一组(与顺序无关, 只取不排)
        组合数: \(C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\enspace\) (\(m\leqslant n\) , \(m,n\in N^+\))
        组合式性质公式: \(\begin{cases} C_n^m=C_n^{n-m} \\ C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1} \end{cases}\)
    3. 二项式定理
      1. 二项式定理: \((a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1}b+C_n^2 a^{n-2}b^2+\dots+C_n^n b^n\)
      2. 二项式系数的性质(结合"杨辉三角"研究推出)
        二项式系数: \(C_n^k\enspace\) (\(k\in 1,2,3,\dots,n\)) (共有 \(n+1\) 项)
        1. 对称性: 与首末两端"等距离"的两个二项式系式相等.
          直线 \(r=\frac{n}{2}\) 为对称轴将二项式系数所表示出的图像分成对称的两部分
        2. 增减性与最大值:
          \(k<\frac{n+1}{2}\rArr\) 二项式系数大小递增
          \(k>\frac{n+1}{2}\rArr\) 二项式系数大小递减
          \(n\) 为偶数时, 其最大的二项式系数为 \(C_n^{\frac{n}{2}}\)
          \(n\) 为奇数时, 其最大的二项式系数为 \(C_n^{\frac{n-1}{n}}\) 和 \(C_n^{\frac{n+1}{2}}\)
        3. 各二项式系数的和 \(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n=2^n\)
  4. 统计案例
    • 独立性检验的基本方法:
      一般地, 对于两个研究对象 I 和 II,
      I 有两类取值, 即类 A 和类 B;
      II 也有两类取值, 即类 1 和类 2.
      得到如下列联表所示的抽样数据:

      II
      类1 类2 合计
      I 类A a b a+b
      类B c d c+d
      合计 a+c b+d a+b+c+d

      要推断 I 和 II 没有关系, 可按下面步骤进行

      1. 第一步提出假设 \(H_0\) : “I 和 II 没有关系”
      2. 第二步根据 2x2 列联表计算统计量 \(X^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\enspace\) (\(n=a+b+c+d\))
      3. 第三步对照下面的临界值表, 作出判断:
        \(P(X^2)\) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
        \(X^2\) 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
        若 \(X^2>10.828\), 则有 99.9% 的把握认为"I 与 II 有关系"(表中表示有 0.1% 的独立性)
        若 \(X^2>6.635\), 则有 99% 的把握认为"I 与 II 有关系"
        若 \(X^2>2.706\), 则有 90% 的把握认为"I 与 II 有关系"
        若 \(X^2\leqslant 2.706\), 则认为没有充分的证据显示"I 与 II 有关系", 但也不能作出结论 \(H_0\) 成立, 即 I 与 II 没有关系, 只能说证据不足
    • 变量相关性

      1. 散点图: 将变量所对应的点在直角坐标系中标出
      2. 正相关和负相关: 依据点的散步方式, 若点排列呈现正比例直线则是正相关, 呈现反比例直线是负相关
      3. 回归直线方程
        1. 最小平方法(最小二乘法): 如果有 \(n\) 个样本点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\) , 若要求一条最能拟合这些点的直线 \(\hat{y}=bx+a\) , 可通过下面的表达式:
          \([y_1-(a+bx_1)]^2+[y_2-(a+bx_2)]^2+\dots+[y_n-(a+bx_n)]^2\)
          若上述表达式能取得最小值, 将得到的 \(a\)、\(b\) 的值带入 \(\hat{y}=bx+a\) 就是所要找的最拟合直线.
        2. 线性回归方程: 将上面那条表达式使用配方法化简, 就得到了
          \(\begin{cases} \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}=\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^n x_i^2-n\bar{x}^2} \\ \hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x} \end{cases}\)
          带入即可得目标式 \(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)
          此方程恒经过样本的 \((\bar{x},\bar{y})\) , 即样本中心点
          TODO: 补充最小二乘法细节
        3. 回归分析
          相关指数 \(r\)
          \(r=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}}=\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i=1}^n x_i^2-n(\bar{x}^2)(\sum_{i=1}^n y_i^2-n(\bar{y})^2)}}\)
          \(r\) 的性质:
          • \(|r|\leqslant 1\)
          • \(|r|\) 越接近 \(1\) , \(x\)、\(y\) 的线性相关程度越强
          • \(|r|\) 越接近 \(0\) , \(x\)、\(y\) 的线性相关程度越弱

概率I

  1. 事件与概率

    • 随机事件: 在条件 \(S\) 下可能发生也可能不发生的事件
    • 互斥事件
      互斥: 若 \(A\cap B\) 为不可能事件(\(A\cap B=\varnothing\)), 则称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 互斥. (即事件 \(A\) 与事件\(B\) 不会同时发生)
      对立: 若 \(A\cap B\) 为不可能事件但 \(A\cup B\) 为必然事件, 则称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 互为对立事件. (事件 \(A\) 与事件 \(B\) 在任何一次试验中有且仅有一个发生)
  2. 古典概型
    基本事件: 在一次实验中可能出现的每一个基本结果
    基本事件的特点:

    1. 任何两个事件是互斥的
    2. 任何事件(除不可能事件)都可以表示成某个或某些基本事件的和

    古典概型的两个特点:

    1. 所有的基本事件只有有限个
    2. 每个基本事件出现的可能性相等

    古典概型公式: \(P(A)=\frac{事件 A 包含的基本事件的个数}{基本事件的总数}\)

  3. 几何概型
    几何概型公式: \(P(A)=\frac{构成事件 A 的区域长度}{试验的全部结果所构成的区域长度}\)

概率II

  1. 独立性
    • 条件概率
      事件 \(A\) 发生的前提下 \(B\) 发生的概率: \(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)
    • 事件独立性
      若\(P(B|A)=P(B)\) , 则称事件 \(A\)、\(B\) 独立
      事件独立性性质:
      1. 事件 \(A\)、\(B\) 相互独立, 则 \(\bar{A}\) 与 \(B\) , \(A\) 与 \(\bar{B}\) , \(\bar{A}\) 与 \(\bar{B}\) 也都相互独立
      2. 独立事件一定不互斥, 互斥事件一定不独立
  2. 离散型随机变量
    随机变量: 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示, 那么这样的变量叫做随机变量. 常用字母 \(X,Y,\xi,\eta\) 表示
    离散型随机变量: 所有取值可以一一列出的随机变量
    1. \(n\) 次重复试验(伯努利试验)
      由 \(n\) 次试验构成, 且试验之间相互独立, 每次试验的结果仅有两种对立的状态.

    2. 二项分布
      在 \(n\) 次独立重复试验中, 用 \(X\) 表示事件 \(A\) 发生的次数, 用 \(p\) 表示每次试验中事件 \(A\) 发生的概率,
      则 \(A\) 恰好发生 \(k\) 次的概率为:
      \(P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\enspace\) (\(k=0,1,2,\dots,n)\)
      可以理解为一个(发生 \(k\) 次同时不发生 \(k-1\) 的)事件, 再抽象理解为是一个从 \(n\) 个样本中抓取 \(k\) 的组合
      此时称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n\)、\(p\) 的二项分布; 记作 \(X\sim B(n,p)\)

    3. 离散均值和离散方差
      一般地若离散型随机变量X的概率分布为

      \(X\) \(x_1\) \(x_2\) \(\dots\) \(x_n\)
      \(P(X)\) \(p_1\) \(p_2\) \(\dots\) \(p_n\)

      期望(离散均值): \(\displaystyle\mu=E(X)=\sum_{i=1}^n x_ip_i\)
      期望的性质:

      1. \(E(aX+b)=aE(X)+b\)
      2. \(E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)\)
      3. 若 \(X_1\)、\(X_2\) 相互独立, 则 \(E(X_1\cdot X_2)=E(X_1)\cdot E(X_2)\)
      4. 两点分布期望 \(E(X)=p\)
      5. 超几何分布期望 \(E(X)=\frac{nM}{N}\)
      6. 二项分布期望 \(E(X)=np\)

      离散方差: \(\displaystyle\sigma^2=V(X)=\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2p_i\)
      离散方差的性质:

      1. \(V(aX+b)=a^2V(X)\)
      2. \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)
      3. 两点分布方差 \(V(X)=p(1-p)\)
      4. 超几何分布 \(V(X)=\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}\)
      5. 二项分布 \(V(X)=np(1-p)\)
    4. 超几何分布
      一般地, 在含有 \(M\) 件次品的 \(N\) 件产品中, 任取 \(n\) 件, 其中恰有 \(x\) 件次品.
      \(P(x=l)=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\enspace\) (\(l=1,2,3,\dots,n\) ; \(n\leqslant N\) , \(M\leqslant N\))
      不合格数量恰有 \(l\) 件的概率分布表如下表所示:
      其中 \(l=\text{min}(M,n)\)

      \(X\) \(0\) \(1\) \(2\) \(\dots\) \(l\)
      \(P\) \(\frac{C_M^0 C_{N-M}^n}{C_N^n}\) \(\frac{C_M^1 C_{N-M}^{n-1}}{C_N^n}\) \(\frac{C_M^2 C_{N-M}^{n-2}}{C_N^n}\) \(\dots\) \(\frac{C_M^l C_{N-M}^{n-l}}{C_N^n}\)

      此时称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n\)、\(M\)、\(N\) 的二项分布, 记作 \(X\sim H(n, M, N)\)

    5. 正态分布
      正态分布密度曲线: \(\varphi_{\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\enspace\) (\(x\in R\) , \(\sigma>0\))
      其中实数 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 为参数, 如果随机变量 \(X\) 服从正态分布记作 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)

      正态分布的特点:

      1. 曲线位于 \(x\) 轴上方, 与 \(x\) 轴不相交.
      2. 曲线是单峰的, 关于 \(x=\mu\) 对称且在 \(x=\mu\) 达到峰值 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)
      3. 曲线与 \(x\) 轴之间的面积为 1
      4. 当 \(\sigma\) 一定时, 曲线的位置由 \(\mu\) 确定(左右平移), \(\mu\) 称为位置参数
      5. 当 \(\mu\) 一定时, 曲线的形状由 \(\sigma\) 确定, \(\sigma\) 称为形状参数
        (\(\sigma\) 越小曲线越瘦高, 意味着总体分布越集中; \(\sigma\) 越大曲线越矮胖, 表示总体的分布越分散)
      6. \(P(\mu-\sigma<x\leqslant\mu+\sigma)=0.6826\)
        \(P(\mu-2\sigma<x\leqslant\mu+2\sigma)=0.9544\)
        \(P(\mu-3\sigma<x\leqslant\mu+3\sigma)=0.9974\)
        因此在实际应用中, 通常认为服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的随机变量只取 \((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\) 之间, 并简称之 \(3\sigma\) 原则

      标准正态分布: \(\mu=0,\sigma=1\rArr f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\enspace\) (\(x\in R\))

几何

立体几何初步

  1. 空间几何体
    圆柱: \(S=2\pi r^2+2\pi rl=2\pi r(r+l)\) , \(V=\pi r^2h=S_\text{底}h\)
    圆锥: \(S=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l)\) , \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}S_\text{底}h\)
    圆台: \(S=\pi r^2+\pi r^{\prime 2}+\frac{1}{2}(2\pi r+2\pi r^\prime)l=\pi(r^2+r^{^\prime 2}+rl+r^\prime l)\) , \(V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+r^2+Rr)=\frac{1}{3}h(S_{\text{下底}}+S^\prime_{\text{上底}}+\sqrt{S_{\text{下底}}S^\prime_{\text{上底}}})\)
    球体: \(S=4\pi R^2\) , \(V=\frac{4}{3}\pi R^2\)

    柱体: \(S_\text{侧}=ch\enspace\) (\(c\) 为底面周长)
    正棱锥: \(S_\text{侧}=\frac{1}{2}ch^\prime\enspace\) (\(h^\prime\) 为斜高)
    台体: \(S_\text{侧}=\frac{1}{2}(c^\prime+c)h^\prime\enspace\) (\(h^\prime\) 为斜高)

  2. 点线面的位置关系

    • 四大公理
      1. 公理1: 如果一直线上两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内
        推论:
        • 可用于判定一条直线是否在平面内
        • 可用于判定点是否在平面内
        • 可用于检验平面
      2. 公理2: 过不在一直线上的三点, 有且只有一个平面
        推论:
        • 经过一条直线和这条直线上一点, 有且只有一个平面
        • 经过两天相交直线, 有且只有一个平面
        • 经过两条平行直线, 有且只有一个平面
      3. 公理3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线
        推论:
        • 可用于判断两个平面是否相交
        • 可用于判断点是否在直线上: \(A\in\alpha\) , \(A\in\beta\) , \(\alpha\cap\beta=l\) , 则 \(A\in l\)
      4. 公理4 平行与同一条直线的两条直线互相平行
    • 线面平行和垂直
      • 定理1 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补
      • (直线、平面平行的判定和性质)
        定理2 判定定理(直线与平面): 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行
        符号语言: \(a\nsubseteq\alpha\) , \(b\subset\alpha\) , \(a\parallel b\rArr a\parallel\alpha\)
        定理3 判定定理(平面与平面): 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行
        符号语言: \(a\subset\alpha\) , \(b\subset\alpha\) , \(a\cap b=p\) , \(a\parallel\beta\)、\(b\parallel\beta\rArr\beta\parallel\alpha\)
        定理4 性质定理(直线与平面): 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
        符号语言: \(a\parallel\alpha\) , \(a\subset\beta\) , \(\alpha\cap\beta=b\rArr a\parallel b\)
        定理5 性质定理(平面与平面): 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行
        符号语言: \(\alpha\parallel\beta\) , \(\alpha\cap\gamma=a\) , \(\beta\cap\gamma=b\rArr a\parallel b\)
      • (直线、平面垂直的判定)
        定理6 判定定理(直线与平面): 一条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直, 则该直线与此平面垂直
        符号语言: \(a\perp b\) , \(a\perp c\) , \(b\subset\alpha\) , \(c\subset\alpha\) , \(b\cap c=p\rArr a\perp\alpha\)
        定理7 判定定理(平面与平面): 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直
        符号语言: \(a\perp\alpha\) , \(a\subset\beta\rArr\alpha\perp\beta\)
        定理8 性质定理(直线与平面): 垂直于同一平面的两条直线平行
        符号语言: \(a\perp\alpha\) , \(b\perp\alpha\rArr a\parallel b\)
        定理9 性质定理(平面与平面): 两个平面垂直, 则一条平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
        符号语言: \(\alpha\perp\beta\) , \(a\subset\alpha\) , \(\alpha\cap\beta=b\) , \(a\perp b\rArr a\perp\beta\)

平面解析几何初步

  1. 直线与方程
    • 斜率: 若 \(A(x_1,y_1)\) , \(B(x_2, y_2)\) 则 \(AB\) 所在直线斜率 \(k_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
    • 直线方程的几种形式:
      点斜式方程(适用于斜率存在的直线): \(y-y_0=k(x-x_0)\)
      斜截式方程(适用于斜率存在的直线): \(y=kx+b\)
      两点式方程(适用于斜率存在的直线): \(\frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\enspace\) (\(x_1\neq x_2\) , \(y_1\neq y_2\))
      截距式方程(适用于不平行于坐标系和不过原点的直线): \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\enspace\) (\(a\neq 0\) , \(b\neq 0\))
      一般式方程(适用于所有直线): \(Ax+By+C=0\)
    • 两点间距离公式 \(|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
    • 点到直线距离公式 \(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
    • 平行线间距离公式
      设:
      \(l_1:Ax+By+C_1=0\)
      \(l_2:Ax+By+C_2=0\)
      则两线距离公式为:
      \(\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{(A+B)}}\)
    • 根据斜率判定两条直线平行或垂直
      • \(l_1\parallel l_2\hArr k_1=k_2\)
        或斜率不存在(此时两直线倾斜角都为 90°)
      • \(l_1\perp l_2\hArr k_1\cdot k_2=-1\)
        或其中一个斜率为 \(1\) , 另一个不存在(其中一条直线倾斜角为 90°)
    • 求已知点 \(x_1,y_1\) 关于斜率为 \(k_1\) 直线的对称点: 得出与该直线垂直且过点 \(x_1,y_1\) 的直线然后代入即可
  2. 圆与方程
    圆的标准方程: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\rArr\) 圆心 \((a,b)\)
    圆的一般方程: \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\enspace\) (\(D^2+E^2-4F>0\))
    半径长: \(\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\)
    圆心: \((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)
    • 直线与圆的位置关系
      设有直线 \(y=kx+b\) , 圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) , 点 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\) 为直线与圆的交点, \((x_0,y_0)\) 为圆上一点

      弦长公式 \(|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+(\frac{1}{k})^2}\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}\)
      切线方程 \(x_0x+y_0y=r^2\) (圆心在原点上适用)
    • 两圆的位置关系
      设 \(C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\) , \(C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0\)
      且两圆相交于 \(A\)、\(B\) 两点
      则点 \(A\)、\(B\) 所在的直线方程为: \((D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+F_1-F_2=0\)
      经过两圆公共点的圆为: \(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1-\lambda(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0\enspace\) (\(\lambda\neq -1\))

圆锥曲线与方程

  1. 椭圆:
    椭圆第二定义: 平面内到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)距离之比为常数(离心率)的点的轨叫椭圆.
    椭圆的标准方程:
    \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\enspace\) (\(a>b>0\)) , 此时焦点在 \(x\) 轴 (哪边分母大焦点就在哪个轴)
    \(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\enspace\) (\(a>b>0\)) , 此时焦点在 \(y\) 轴
    性质:
    • 焦点在 \(x\) 轴, 定点为 \((-c,0)\)、\((c,0)\) , 顶点为 \((-a,0)\)、\((a,0)\)、\((0,-b)\)、\((0,b)\)
      焦点在 \(y\) 轴, 定点为 \((0,-c)\)、\((0,c)\) , 顶点为 \((0,-a)\)、\((0,a)\)、\((-b,0)\)、\((b,0)\)
      存在关系 \(a^2=b^2+c^2\)
      椭圆准线方程: \(x=\pm\frac{a^2}{c}\) 或 \(y=\pm\frac{a^2}{c}\)
    • 离心率 \(e=\frac{c}{a}\enspace\) (\(0<e<1\))
      \(e\) 越大, 椭圆越扁;
      \(e\) 越小, 椭圆越接近于圆
    • 当椭圆焦点不确定在哪个轴上时可设该方程为 \(mx^2+ny^2=1\enspace\) (\(m>0,n>0,m\neq n)\)
    • 若已知椭圆上一点为 \(P\) , \(\angle{F_1PF_2}=\theta\) , 则有 \(S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}\)
  2. 双曲线
    (这里讨论的双曲线关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称)
    双曲线第二定义: 平面内到定点(焦点)的距离到定直线(准线)的距离之比为常数(离心率)的点的迹叫双曲线.
    双曲线的标准方程:
    \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\enspace\) (\(a>0\) , \(b>0\)) , 此时焦点在 \(x\) 轴 , 渐近线方程为 \(y=\pm\frac{b}{a}x\enspace\) (被减数是哪个焦点就在哪个上)
    \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\enspace\) (\(a>0\) , \(b>0\)) , 此时焦点在 \(y\) 轴 , 渐近线方程为 \(y=\pm\frac{a}{b}x\)
    性质:
    • 存在关系 \(c^2=a^2+b^2\)
    • 离心率 \(e=\frac{c}{a}\enspace\) (\(e>1\))
      \(e\) 越大, 开口越大;
      \(e\) 越小, 开口越小
    • 等轴双曲线: 实虚轴相等. 此时 \(e=\sqrt{2}\) , 渐近线方程为 \(y=\pm x\)
    • 当双曲线的焦点不确定在哪个轴上时可设方程为 \(mx^2+ny^2=1\enspace\) (\(mn<0\))
    • 若已知双曲线的渐近线方程为 \(\frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0\) , 要求双曲线方程, 可设该双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda\enspace\) (\(\lambda\neq0\))
      再根据题意求 \(\lambda\) 的值
      若已知双曲线上一点为 \(P\) , \(\angle F_1PF_2=\theta\) , 则有 \(S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\cot\frac{\theta}{2}\)
    • 双曲线的左(右)焦点到左(右)顶点的距离为该焦点到双曲线的最短距离
    • 直线与双曲线位置关系的处理方法:
      联立两方程, 消去 \(y\) (或 \(x\)) , 得到一元二次方程. 在二次项系数不为 \(0\) 的情况下考察方程的判别式
      1. \(\varDelta>0\) 时, 直线与双曲线有两个交点
      2. \(\varDelta=0\) 时, 直线与双曲线有一个交点
      3. \(\varDelta<0\) 时, 直线与双曲线没有交点
  3. 抛物线
    定义: 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离
    标准方程 焦点 准线
    \(y^2=2px\enspace\) (\(p>0\)) \((\frac{p}{2},0)\) \(x=-\frac{p}{2}\)
    \(y^2=-2px\enspace\) (\(p>0\)) \((-\frac{p}{2},0)\) \(x=\frac{p}{2}\)
    \(x^2=2py\enspace\) (\(p>0\)) \((0,\frac{p}{2})\) \(y=-\frac{p}{2}\)
    \(x^2=-2py\enspace\) (\(p>0\)) \((0,-\frac{p}{2})\) \(y=\frac{p}{2}\)
    性质: (设 \(y=2px\enspace\) (\(p>0\)), \(F\) 为其焦点, 点 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\) 且\(AB\) 为其焦点弦, 弦的倾斜角为 \(\theta\))
    • 离心率 \(e=1\)
    • 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
    • \(x_1x_2=\frac{p^2}{4}\) , \(y_1y_2=-p^2\)
    • \(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}\)
    • \(|AB|=x_1+x_2+p\)
    • \(|AB|=\frac{2p}{\sin{^2\theta}}\)
    • \(S_{\triangle ABO}=\frac{p^2}{2\sin{^2\theta}}\)
    • 过 \(A\)、\(B\) 分别作准线的垂线, 垂足分别为 \(A_1\)、\(B_1\)
      则 \(A_1F\perp B_1F\) 此时 \(A_1\)、\(O\)、\(B_1\) 三点共线
    • 焦点弦中, 通经最短 (指垂直于对称轴的焦点弦, 长为\(2p\))
    • 当题中只有给一个点时, 不知对称性. 可设 \(x^2=2my\enspace\) (\(m\neq 0)\) 或 \(y^2=2mx\enspace\) (\(m\neq 0\))

向量

  1. 平面向量
    1. 向量的线性运算
      加减: 有三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率
      数乘: 规定实数 \(\lambda\) 与 \(\vec{a}\) 的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘. 记作 \(\lambda\vec{a}\)
      • 性质: (设实数 \(\lambda\) , 向量 \(\vec{a}\))
        • 结合律: \(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\)
        • 分配律:
          \((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\)
          \(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)
          \(\lambda(\vec{a}-\vec{b})=\lambda\vec{a}-\lambda\vec{b}\)
        • \((-\lambda)\vec{a}=-(\lambda\vec{a})=\lambda(-\vec{a})\)
    2. 向量的坐标表示和基本定理
      • 向量的坐标表示
        一个向量的坐标表示一条从原点到此坐标的有向线段(若始点坐标非零则是终点坐标减去始点坐标)
        设 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\) , \(\vec{b}=(x_2,y_2)\) , 则
        \(\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)
        \(\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)
        \(\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1)\)
      • 正交分解
        把一个向量分解成两个相互垂直的向量, 叫做把向量正交分解
        \((x_i,y_i)\hArr(x_i,0)\) , \((0,y_i)\)
      • 向量共线基本定理
        \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 共线(\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) , \(\vec{b}\neq 0\)) 当且仅当有唯一实数 \(\lambda\) 使 \(\vec{b}=\lambda\vec{a}\)
      • 两向量平行或垂直的判定
        设 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\) , \(\vec{b}=(x_2,y_2)\)
        若 \(\vec{a}\parallel\vec{b}\enspace\) (\(\vec{b}\neq\vec{0}\)) \(\hArr\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\hArr x_1y_2-x_2y_1=0\) (内项积等于外项积)
        若 \(\vec{a}\perp\vec{b}\hArr\vec{a}\cdot\vec{b}=0\hArr x_1x_2+y_1y_2=0\)
    3. 数量积(向量点乘)
      \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}\) , 其中 \(\theta\) 是 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角
      性质:
      • 交换律 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
      • 当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 同向时, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\)
        当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 反向时, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|\)
      • \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\hArr |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\)
      • \(|\vec{a}\cdot\vec{b}\leqslant|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\)
      • 若 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\) , \(\vec{b}=(x_2,y_2)\) , 则 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)
        \(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)
  2. 空间向量
    1. 空间向量及其运算
      向量共线定理推论: 若 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三点共线. 对空间任意一点 \(P\) , 都有 \(\vec{PC}=\vec{PA}+\lambda\vec{AB}=\lambda\vec{PB}+(1-\lambda)\vec{PA}\)
      向量共面定理: 若两个向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 不共线, 则向量 \(\vec{p}\) 与向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 共面的充要条件是存在 \((x,y)\) 使 \(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\)
      推论:
      若 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 四点共面, \(P\) 为空间中任意一点

      • 存在有序实数对 \((x,y)\) , 使 \(\vec{BA}=x\vec{BC}+y\vec{BD}\)
      • 存在有序实数对 \((x,y)\) , 使 \(\vec{PA}=\vec{PB}+x\vec{BC}+y\vec{BD}\)
      • 存在 \(x\)、\(y\)、\(z\in R\) , 使 \(\vec{PA}=x\vec{PB}+y\vec{PC}+z\vec{PD}\enspace\) (\(x+y+z=1\))

      定理:
      如果三个变量不共面, 那么对空间任一向量 \(\vec{p}\) , 存在有序实数组 \(\{x,y,z\}\) 使得 \(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}\) .
      其中集合 \(\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}\) 称为空间的一个基底, \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) 称为基向量

      空间向量的模长: 若 \(\vec{a}=(x,y,z)\) , 则 \(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
      空间向量的数量积:
      若 \(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)、\(\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\) , 则 \(\cos<\vec{a},\vec{b}>=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}\)

    2. 空间向量的应用

      1. 直线的方向向量
        设 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 分别是直线 \(l\)、\(m\) 的方向向量

        1. \(\vec{a}=\lambda\vec{b}\hArr\vec{a}\parallel\vec{b}\hArr l\parallel m\)
        2. \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\hArr\vec{a}\perp\vec{b}\hArr l\perp m\)
      2. 平面的法向量
        如果向量 \(\vec{n}\) 垂直于平面 \(\alpha\), 则向量 \(\vec{n}\) 叫做平面 \(\alpha\) 的法向量
        应用:

        • 点面距离向量公式

          设 \(\vec{n}\) 是平面 \(\alpha\) 的法向量, \(PA\) 是 \(\alpha\) 的斜线, 则点 \(P\) 到 \(\alpha\) 的距离 \(d=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{PA}|}{|\vec{n}|}\)

        • 直线与平面
          设 \(\vec{a}\) 是 \(l\) 的方向向量, \(\vec{n}\) 是 \(\alpha\) 的法向量

          1. \(\vec{a}=\lambda\vec{n}\hArr\vec{a}\parallel\vec{n}\hArr l\perp\alpha\)
          2. \(\vec{a}\cdot\vec{n}=0\hArr\vec{a}\perp\vec{n}\hArr l\parallel\alpha\)
        • 平面与平面
          设 \(\vec{u}\)、\(\vec{n}\) 分别为 \(\alpha\)、\(\beta\) 的法向量

          1. \(\vec{u}=\lambda\vec{n}\hArr\vec{u}\parallel\vec{n}\hArr\alpha\parallel\beta\)
          2. \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\hArr\vec{u}\perp\vec{n}\hArr\alpha\perp\beta\)
      3. 三垂线定理

        在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直
        符号语言: \(PO\perp\alpha\) , \(l\subset\alpha\) , \(OA\) 是 \(PA\) 在 \(\alpha\) 内的射影. 则 \(l\perp OA\rArr l\perp PA\)

        • 三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它也和这条直线在平面内的摄影垂直.
          符号语言: \(PO\perp\alpha\) , \(l<\alpha\) , \(OA\) 是 \(PA\) 在 \(\alpha\) 内的摄影. 则 \(l\perp PA\rArr l\perp OA\)
      4. 空间角的求法:

        1. 异面直线所成的角 \((0\degree,90\degree]\)
          设异面直线 \(a\) 与 \(b\) 所成角为 \(\theta\) . 且 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 分别 \(a\)、\(b\) 的方向向量
          则 \(\cos\theta=|\cos<\vec{a},\vec{b}>|=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
        2. 二面角 \((0\degree,180\degree)\)
          设二面角 \(\theta\) , \(\vec{u}\)、\(\vec{v}\) 分别是平面 \(\alpha\)、\(\beta\) 的法向量
          则 \(\cos\theta=\cos<\vec{a},\vec{b}>=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\) (锐二面角)
          或 \(\cos\theta=-\cos<\vec{u},\vec{v}>=-\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\) (钝二面角)
        3. 直线与平面所成角 \((0\degree,90\degree]\)
          设斜线 \(PA\) 与平面 \(\alpha\) 所成角为 \(\theta\) , \(\vec{n}\) 为 \(\alpha\) 的法向量, \(\vec{PA}\) 是斜线 \(PA\) 的方向向量
          则 \(\sin\theta=|\cos<\vec{PA},\vec{n}>|=\frac{|\vec{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{PA}||\vec{n}|}\)
      5. 点到直线距离(向量法):
        例: 已知直线 \(l\) 过点 \(P(0,0,0)\) , 其方向向量 \(\vec{a}=(1,1,1)\) , 则点 \(Q(3,4,5)\) 到直线的距离为?
        解: 点 \(Q\) 到直线 \(l\) 的距离为 \(\sqrt{PQ^2-(\frac{\vec{a}\cdot\vec{PQ}}{|\vec{a}|})^2}=\sqrt{2}\) (勾股定理)

坐标系与参数方程

坐标系

  1. 伸缩变换: 设点 \(P(x,y)\) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换
    \(\varphi\begin{cases} x^\prime=\lambda\cdot x & (\lambda<0) \\ y^\prime=\mu\cdot y & (\mu>0) \end{cases}\)
    的作用下, 点 \(P(x,y)\) 对应到点 \(P^\prime(x^\prime,y^\prime)\) 称 \(\varphi\) 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换
    经过伸缩变换后得到一条关于 \(x^\prime,y^\prime\) 的曲线方程, 最后要将 \(x^\prime,y^\prime\) 分别转化为具有普遍意义的 \(x,y\), 得到一条关于 \(x,y\) 的全新的曲线方程.

  2. 极坐标: 在平面内取一个定点 \(O\), 叫做极点, 自极点 \(O\) 引一条射线 \(OX\) , 叫做极轴, 再确定单位长度、角度单位、正方向, 就建立了一个极坐标系.
    一般地, 极坐标 \((P,\theta)\) 与 \((P,\theta+2k\pi)\enspace\) (\(k\in Z\)) 表示同一个点
    特别地, 极点 \(O\) 的坐标为 \((0,\theta)\enspace\) (\(\theta\in R\))
    和直角坐标系不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示

    • 极坐标与直角坐标的互允公式

      1. 互化公式的应用条件:
        1. 极点与直角坐标系的原点重合
        2. 极轴与直角坐标系的 \(x\) 轴正半轴重合
        3. 两个坐标系的单位长度相同
      2. 极坐标化为直角坐标 \(\begin{cases} x=\rho\cos\theta \\ y=\rho\sin\theta \end{cases}\)
        直角坐标化为极坐标: \(\begin{cases} \rho^2=x^2+y^2 \\ \tan\theta=\frac{y}{x} \end{cases}\)
    • 极坐标内两点的距离公式:
      若 \(A(\rho_1,\theta_1)\) , \(B(\rho_2,\theta_2)\), 则
      \(|AB|=\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2-2\rho_1\rho_2\cos(\theta_1-\theta_2)}\)

    • 某些题目给出相关信息求极坐标方程可用三角函数进行求解.
      取要求的曲线上任一点设为 \(M(\rho,\theta)\).
      结合题意表示出关于变量 \(\rho,\theta\) 的极坐标方程, 即为题目所求的极坐标方程.
      可用此方法推导得出:

      • 设圆心为 \((\rho_0,\theta_0)\) , 半径为 \(r\).
        则圆的极坐标方程为 \(\rho^2+\rho_0^2-2\rho_0\rho\cos(\theta-\theta_0)=r^2\)
      • 过点 \(P(\rho_1,\theta_1)\) 且与极轴所成的角为 \(\alpha\) 的直线的极坐标方程为 \(\rho\sin(\alpha-\theta)=\rho_1\sin(\alpha-\theta_1)\)

参数方程

参数方程的求法:

  1. 建系, 设点 \((x,y)\)
  2. 选取参数
  3. 求出 \(x,y\) 与参数之间的表达式
  4. 结论

参数方程化为普通方程: 要把参数消去, 还要注意 \(x,y\) 的取值范围, 即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
常用的消参技巧: 带入消元, 加减消元, 平方和(差)消元, 三角恒等式消元等
常用消参公式: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) , \((t+\frac{1}{t})^2-(t-\frac{1}{t})^2=4\)

  1. 直线的参数方程
    经过点 \(P_0(\rho_0,\theta_0)\) , 且倾斜角为 \(\alpha\) 的直线的标准参数方程为 \(\begin{cases} x=x_0+t\cos\alpha \\ y=y_0+t\sin\alpha \end{cases}\) (\(t\) 为参数)
    参数 \(t\) 的几何意义是有向线段 \(P_0P\) 的位置下标. 即 \(|t|=P_0P\)

    另一种:
    直线的方向向量为 \(\vec{P_0P}=(x_0,y_0)\) , \(\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \end{cases}\) (\(t\) 为参数)
    且\(|P_0P|=\sqrt{a^2+b^2}|t|\)
    当 \(a^2+b^2=1\) , \(t=|P_0P|\)
    当 \(a^2+b^2\neq 1\) , \(t\) 无明确意义

  2. 圆的参数方程
    圆心坐标为 \(M(a,b)\), 半径 \(r_0\)
    以圆心为顶点且与 \(x\) 轴同向的射线按逆时针方向旋转至角 \(\alpha\) 为参数的圆的参数方程为:
    \(\begin{cases} x=a+r\cos\alpha \\ y=b+r\sin\alpha \end{cases}\) (\(\alpha\in[0,2\pi)\))

  3. 圆锥曲线的参数方程

    • 椭圆(\(\varphi\) 为离心角)
      \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\enspace\) (\(a>b>0\)) 的一个参数方程为 \(\begin{cases} x=a\cos\varphi \\ y=b\sin\varphi \end{cases}\) (\(\varphi\) 为参数, \(a>b>0\))
      \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\enspace\) (\(a>b>0\)) 的一个参数方程为 \(\begin{cases} x=b\cos\varphi \\ y=a\sin\varphi \end{cases}\) (\(\varphi\) 为参数, \(a>b>0\))
    • 双曲线
      \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\enspace\) (\(a,b>0\)) 的一个参数方程为 \(\begin{cases} x=a\sec\varphi=\frac{a}{\cos\varphi} \\ y=b\tan\varphi \end{cases}\) (\(\varphi\) 为参数, \(a,b>0\))
      \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\enspace\) (\(a,b>0\)) 的一个参数方程为 \(\begin{cases} x=b\tan\varphi \\ y=a\sec\varphi=\frac{a}{\cos\varphi} \end{cases}\) (\(\varphi\) 为参数, \(a,b>0\))
    • 抛物线
      \(y^2=2px\) 的一个参数方程 \(\begin{cases} x=2pt^2 \\ y=2pt \end{cases}\) (\(t\) 为参数)
  4. 平摆线和渐开线

    • 平摆线: 某一个车轮上的一点 \(P\) 因车轮滚动而绘制的轨迹(或称旋轮线)
      半径为 \(r\) 的车轮周上一点 \(P\) 的轨迹的参数方程是 \(\begin{cases} x=r(\theta-\sin\theta) \\ y=r(1-\cos\theta) \end{cases}\) (\(\theta\) 为参数)
    • 渐开线: 一条动直线(发生线)沿着一个固定的圆(基圆)作纯滚动时,此动直线上一点的轨迹
      参数方程为 \(\begin{cases} x=r(\cos\theta+\theta\sin\theta) \\ y=r(\sin\theta-\theta\cos\theta) \end{cases}\) (\(\theta\) 为参数)
Author

Ndoskrnl

Posted on

2020-12-28

Updated on

2021-12-05

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